1.Witam! Rozwiąże ktoś te zadania? :) zapisz wzor funkcji f w postaci kanonicznej.odczytaj z niego zbior wartosci funkcji a)f(x)=x^2 + 4x - 4 2.Wyznacz przedziały monotoniczności oraz zbiór wartości funkcji f a)f(x)=-5x^2 - 15x + 1 b)f(x)= 1/4x^2 - 6x+7 3.Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ równań a)y=x^2 + x -2 y=-x+1 to w klamerce b) y=x^2 - 2x - 3 y=2x+1 Oczywiscie daje najjj
a) f(x)=x²+4x-4
- postać kanoniczna: f(x)=a(x-p)²+q
f(x)=(x-2)²
[wzór skróconego mnożenia: a²-2ab+b²=(a-b)²]
- zbiór wartości:
-- gdy współczynnik kierunkowy a<0: y∈(-∞, q>
-- gdy współczynnik kierunkowy a>0: y∈<q, ∞)
dla tej paraboli q przyjmuje wartość równą 0; q=0 (co widać z postaci kanonicznej funkcji), czyli zbiorem wartości jest zbiór: y∈<0, ∞)
(na wykresie: parabola skierowana ramionami w górę; wierzchołek paraboli w punkcie (x, 0))
=======================================================================
zad 2
By wyznaczyć przedział w którym funkcja jest malejąca czy rosnąca oraz by określić zbiór wartości funkcji wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli W(p, q) oraz określić czy parabaola jest skierowana ramionami w dół (współczynnik kierunkowy a<0), czy w górę (a>0).
Rozwiązania w zależności od współczynnika kierunkowego:
- a<0 -
-- funkcja rosnąca w przedziale (-∞, p)
-- funkcja malejąca w przedziale (p, ∞)
- a>0
-- funkcja malejąca w przedziale (-∞, p)
-- funkcja rosnąca w przedziale (p, ∞)
gdzie x - współrzędna wierzchołka.
a) f(x)=-5x²-15x+1
- współczynnik kierunkowy a=-5<0 - parabola skierowana ramionami w dół
- współrzędne wierzchołka
p=-b/2a=-(-15)/2*(-5)=15/(-10)=-3/2
q=-Δ/4a=-245/-20=49/4
Δ=b²-4ac=(-15)²-4*(-5)*1=225+20=245
W(x,y) = W(-3/2; 49/4)
-- funkcja rosnąca w przedziale (-∞, -3/2)
-- funkcja malejąca w przedziale (-3/2, ∞)
- zbiór wartości funkcji:
y∈(-∞, 49/4>
====================================================================
b) f(x)=1/4 x²-6x+7
- współczynnik kierunkowy a=1/4>0 - parabola skierowana ramionami w górę
- współrzędne wierzchołka
p=-b/2a=-(-6)/2*(1/4)=6/(1/2)=6*2=12
q=-Δ/4a=
Δ=b²-4ac=(-6)²-4*(1/4)*7=36-7=29
W(x,y) = W(12, -9)
-- funkcja rosnąca w przedziale (12, ∞)
-- funkcja malejąca w przedziale (-∞, 12)
- zbiór wartości funkcji:
y∈<-9, ∞)
====================================================================
zad 3 [nie mogę dodawać załączników]
a)
I. {y=x²+x-2
II. {y=-x+1
{-x+1=x²+x-2
{y=-x+1
[zajmuję się równaniem I]
-x+1=x²+x-2
0=x²+2x-3
Δ=b²-4ac=4+12=16
√Δ=4
x₁=[-b-√Δ]:2a=[-2-4]:2=-6:2=-3
x₂=[-b+√Δ]:2a=[-2+4]:2=2:2=1
Są dwa rozwiązania:
1.
{x=-3
{y=-x+1=3+1=4
Punkt P₁(-3, 4)
2.
{x=1
{y=-x+1=-1+1=0
Punkt P₂(1, 0)
===================================================================
b)
I. {y=x²-2x-3
II. {y=2x+1
{2x+1=x²-2x-3
{y=2x+1
[zajmuję się równaniem I]
2x+1=x²-2x-3
0=x²-4x-4
Δ=16+16=32
√Δ=4√2
x₁=[4-4√2]:2=2-2√2
x₂=[4+44√2]:2=2+2√2
Rozwiązania:
1.
{x=2-2√2
{y=2*(2-2√2)+1=5-2√2
Punkt P₁(2-2√2; 5-2√2)
2.
{x=2+2√2
{y=2*(2+2√2)+1=4+4√2+1=5+4√2
Punkt P₂(2+2√2; 5+4√2)
[GRAFICZNIE: w obu przypadkach w układznie wapółrzędnych będzie parabola, którą przecina prosta w dwóch punktach]