Question

Wykaż że jeżeli długości boków trójkąta prostokątnego są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy większej od 0, to różnica jest długością okręgu wpisanego w ten trójkąt.


Bardzo proszę o pomoc, wiem że już prawie wakacje, ale niestety nie u mnie w szkole;/

Answer 1

Niech a, b, c będą bokami trójkąta prostokątnego, których długość to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego (a < b < c), s to różnica tego ciągu, r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Z własności ciągu arytmetycznego
s = b-a
s = c-b
c-b=b-a
c+a=b+b
c+a= 2b
Ze wzoru na pole Δ i promień okręgu wpisanego otrzymamy
PΔ = ½*a*b oraz r = (2*P)/(a+b+c)
r = (2*½*a*b)/(a+b+c) = (a*b)/(2b+b) = ab/3b = a/3

Teraz, aby udowodnić, że s = r wystarczy wykazać. że b-a = a/3

Z tw. Pitagorasa mamy
a² + b² = c² → (c+a = 2b czyli c = 2b - a)
a² + b² = (2b - a)²
a² + b² = 4b² - 4ab + a²
4b² - 4ab + a² = a² + b²
4b² - 4ab + a² - a² - b² = 0
3b² - 4ab = 0
b*(3b - 4a) = 0 /:b
3b - 4a = 0
3b = 4a /:3
b = (4a)/3

s = b - a = (4a)/3 - (3a)/3 = (4a - 3a)/3 = a/3 = r
s = r → co należało dowieść