Question

Dla jakich wartosci parametru m funkcja f przyjmuje tylko wartosci ujemne?

f(x)= ( m²-1)x² + (m-1)x - m/4

Answer 1

Na początku rozpatrujemy dwa przypadki, tj.:

(1) f(x) jest liniowa:
m²-1 = 0
(m+1)(m-1) = 0
m = -1 v m = 1
(1) m = -1:
f(x) = -2x+0,25
Łatwo zauważyć, że dla x = -1, f(x) = 2,25 > 0
(2) m = 1:
f(x) = -0,25
Więc m = 1 jest szukaną wartością parametru.

(2) f(x) jest kwadratowa (f(x) = ax²+bx+c, a ≠ 0):
m²-1 ≠ 0
m ≠ -1 i m ≠ 1
(1) Jeżeli a > 0, to parabola będzie "uśmiechnięta", więc nie ma takiej możliwości, żeby wszystkie wartości f(x) były ujemne.
(2) Jeżeli a < 0, to parabola będzie "smutna", więc trzeba tylko zadbać o to, żeby nie było miejsc zerowych, czyli Δ < 0:
Δ = (m-1)²-4*(m²-1)*(-m/4) = (m-1)²+m(m²-1) = m²-2m+1+m³-m = m³+m²-3m+1
Więc:
m³+m²-3m+1 < 0
(m-1)(m²+2m-1) < 0
(m-1)(m+1+√2)(m+1-√2) < 0
m ∈ (-∞; -1-√2) u (-1+√2; 1)
Ale a < 0:
m²-1 < 0
(m+1)(m-1) < 0
m ∈ (-1; 1)
Więc:
m ∈ (-1+√2; 1)

Ostatecznie:
m ∈ (-1+√2; 1>