Question

Układy równań.

46. Dwaj cykliści jadą ze stałymi prędkościami po owalnym torze o
długości 500m. jeden z nich mija drugiego co 5min. Następnie jeden z
cyklistów zaczyna jeździć w kierunku przeciwnym, nie zmieniając swojej
prędkości. Teraz spotyka się z drugim cyklistą co 24 sekundy. Jakie są
prędkości obu cyklistór?

45. Szybkonogi Achilles rozpoczyna pogoń za żłówiem, gdy ten znajdował
się 100m od niego. Już po pieciu sekundach dystans między nimi
zmiejszył się o połowę. Złów zdążył przebiec zaledwie 1m, gdy Achilles
go dogonił. Z jaką prędkością biegł Achilles, a z jaką żłów?

44. Inżynier ma postawić słupy telegraficzne między dwoma miejscami.
Obliczył, że jeśli ustawi po jednym słupie w skrajnych punktach i co
50m między tymi punktami, to zabraknie mu 21 słupów; jeśli zaś będzie
je ustawiać co 55m, to zabraknie tylko jednego słupa. Ile było słupów
i jaka była odległość między tymi miejscami?

43. Gdyby król Aleksander Wielki zmarł o 5 lat wcześniej, panował by
1/4 swego życia; gdyby żył o 9 lat dłużej, panowałby połowę swego
życia. Ile lat żył i ile lat panował Aleksander Wielki?

42. Oślica niosła wino i uginając się pod jego ciężarem, skarżyła się
mułowi, który jej towarzyszył. Muł rzekł:
- Czemu ty narzekasz, oślico? Gdybym ja wziął jedną z twoich miar, to
ładunek mój byłby dwa razy cięższy od twego, a gdybyś ty wzięła jedną
z moich miar, to ja dźwigałbym tyle samo co ty.
Ile miar niosła oślica, a ile muł?

41. Starożytne zadanie chińskie.
W ogrodzie mandaryna były bażanty i króliki. Razem 35 głów i 94 nogi.
Ile było bażantów, a ile królików?

Daję naj. z góry dziękuje :)

Answer 1

46. Jeśli zapiszemy prędkości w m/min , to wychodzą liczby całkowite, więc warto zamienić jednostki. Otrzymamy wtedy:
5x-5y=500
2/5(x+y)=500

5x=500 + 5y /:5
2/5x + 2/5y = 500

x= 100 + y
2/5 (100 + y) + 2/5y = 500

x = 100 + y
40 + 2/5y + 2/5y = 500

x= 100 + y
4/5 y = 460 /*5

x= 100 + y
4y = 2300 /:4

x= 100 + y
y= 575

x= 100 + 575
y= 575

x= 675
y= 575

Stąd:
x=675[m/min]
y=575[m/min]

44. x- liczba słupów
y- odległość

y = 50 (x + 21 - 1)
y =55 (x + 1 - 1)

y = 50x + 1050 - 50
y = 55x + 55 - 55

-50x + y = 1000
-55x + y = 0

-50x + y = 1000
55x - y = 0

5x= 1000
x= 200

55 * 200 - y = 0
y = 11000

x = 200
y= 11000

43. gdyby żył krócej to by i krócej o tyle samo panował, a gdyby żył dłużej panowałby także dłużej
dlatego powinno być :
x- lata panowania
y- lata życia

x - 5 = 1/4 (y - 5)
x + 9 = 1/2 (y + 9)

x - 5 = 1/4y - 5/4
x + 9 = 1/2y + 9/2

x - 1/4y= 5 - 5/4 /*4
x- 1/2y = 9/2 - 9 /*(-2)

4x - y = 20 - 5
-2x + y = -9 + 18

4x - y = 15
-2x + y = 9

2x = 24
x = 12

4 * 12 - y = 15
-y = 15 - 48
y = 33

x = 12
y = 33

Aleksander Wielki panował 12 lat, a żył 33 lata.

42. x- liczba miar, które niesie oślica
y- liczba miar, które niesie muł

y + 1 - muł bierze jedną miarę
x-1 - oślica oddaje jedną miarę
y+1=2(x-1) - pierwsze równanie

y-1 - muł oddaje jedną miarę
x+1 - oślica bierze jedną miarę
y-1 = x+1 - drugie równanie

y + 1 = 2(x-1)
y- 1 = x + 1

y + 1 = 2x - 2
-x + y = 2 /* (-2)

-2x + y = -3
2x - 2y = -4

-y = -7
y = 7

2x - 2 * 7 = -4
2x - 14 = -4
2x = 10
x = 5

x=5
y= 7

41. x- ilość bażantów
y- ilość królików

x + y = 35 /*(-2)
2x + 4y = 94

-2x -2y = -70
2x + 4y = 94

2y = 24
y = 12

2x + 4 * 12 = 94
2x = 94 - 48
2x = 46
x = 23

x=23
y= 12

Answer 2

46.
długość toru s=500m
czas przejazdu w pierwszym kierunku t₁=5min=300s
czas przejazdu w drugim kierunku t₂=24s
droga pokonana przez pierwszego cyklistę w czasie 5min - y
droga pokonana przez drugiego cyklistę w czasie 5min - s+y
droga pokonana przez pierwszego cyklistę w czasie 24sek. - x
droga pokonana przez drugiego cyklistę w czasie 24sek. - s-x
prędkość pierwszego cyklisty v₁
prędkość drugiego cyklisty v₂

y=v₁*t₁
s+y=v₂*t₁

s+v₁*t₁=v₂*t₁
s=v₂*t₁-v₁*t₁


x=v₁*t₂
s-x=v₂*t₂

s-v₁*t₂=v₂*t₂
s=v₂*t₂+v₁*t₂

otrzymujemy układ równań:

s=v₂*t₁-v₁*t₁
s=v₂*t₂+v₁*t₂
podstawiamy liczby i rozwiązujemy:

500=300v₂-300v₁
500=24v₂+24v₁

500=300v₂-300v₁
⁵⁰⁰/₂₄-v₂=v₁

500=300v₂-300(⁵⁰⁰/₂₄-v₂)
500=300v₂-6250+300v₂
6750=600v₂
v₂=11,25 m/s

v₁=⁵⁰⁰/₂₄-11¼
v₁=⁵⁰⁰/₂₄ - ²⁷⁰/₂₄
v₁=9⁷/₁₂ m/s

Cykliści jadą z prędkościami 9⁷/₁₂ m/s i 11,25 m/s

45.
Vz - prędkość żółwia
Va - prędkość Achillesa
1m - droga żółwia
100+1=101m - droga Achillesa
t=5s - połowa czasu

Vz=1/2t
t=5

Vz=1/2*5
t=5

Vz=0,1 m/s

Va=101/2t
t=5

Va=101/2*5
Va=101/10
Va=10,1 m/s

Żółw biegł z prędkośćią 0,1 m/s , a Achilles 10,1m/s

44.
x - il. słupów
y - odległość między miejscami

50(x+21-1)=y
55(x+1-1)=y

50x+1050-50=y
55x+55-55=y

50x+1000=y
55x=y

50x+1000=55x
55x=y

50x-55x=-1000
-5x=-1000
x=200

y=55*200
y=1100m=1,1km

x=200
y=1,1km

Było 200 słupów, a odległość między tymi miejscami wynosiła 1,1km

43.
x - długość życia
y - długość panowania

y-5=¼(x-5)
y+9=½(x+9)

y=¼x-1¼+5
¼x+3¾+9=½x+4½

¼x-²/₄x=4²/₄-3¾-9
-¼x=-³³/₄
x=33

y=¼*33+3¾
y=³³/₄+3¾
y=12

x=33
y=12

Aleksander Wielki żył 33 lata, a panował 12 lat.

42.
x - oślica
y - muł

y+1=2(x-1)
x+1=y-1

y+1=2x-2
x-y=-2

y=2x-3
x-(2x-3)=-2

x-2x+3=-2
-x=-5
x=5

y=2*5-3
y=7

x=5
y=7

Oślica niosła 5 miar, a muł 7.

41.
x - il. bażantów
y - il. królików

x+y=35
2x+4y=94

x=35-y
2(35-y)+4y=94

70-2y+4y=94
2y=24
y=12

x=35-12
x=23

x=23
y=12

Bażantów było 23, a królików 12.