Question

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem:

Sn = 2 * n^2 +n dla n >/= 1

a) Oblicz sumę 50 poczatkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:

a2 + a4 + ... + a100

b) oblicz lim Sn / 3n^2 -2

n->oo

Answer 1

a)

Sn = 2 n^2 + n;  n > = 1

więc

a1 = S1 =  2 + 1 = 3

a1 + a2 = S2 = 2*2^2 + 2 = 2*4 + 2 = 8 + 2 = 10

więc

a2 = 10 -a1 = 10 - 3 = 7

a1+ a2 + a3 = S3 = 2*3^2 + 3 = 18 + 3 = 21

więc

a3 = 21 - ( 3 + 7) = 21 - 10 = 11

r = a2 - a1 = 7 - 3 = 4

Mamy

a1 = 3   i   r = 4

 

Tworzę nowy ciąg bn

b1 = a2 = 7

r1 = 2*r = 2*4 = 8

zatem

b50 = b1 + 49*r1 = 7 + 49*8 = 7 + 392 = 399

oraz

S50 = 0,5 *{ b1 + b50}* 50 = 25* [ 7 + 399 ] = 25 * 406 = 10 150

==================================================

b)

cn = [ 2 n^2 + n ] / [ 3 n^2 - 2 ] =  [ 2 + 1/n ] / [ 3 - 2/n^2]

więc

lim cn = 2/3

n--> oo

============

bo   1/n  --> 0    i   - 2/n^2  --> 0 , gdyn --> oo

====================================