Question

1. Które wyrazy ciągu (bn) o wyrazie ogólnym bn= n / n+3 gdzie n należy do N+ należą do przedziału < 1/2 ; 3/4) ?

2. Udowodnij że wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu (an) określonego wzorem an= 3n^2+23n-8 / 3n-1 są liczbami naturalnymi .

Z góry dziękuję

Answer 1

Zad. 1

 

Stąd:

Zatem:

 

Możemy pomożyć obie strony nierówności przez 2 oraz przez n + 3 bez zmiany znaku nierówności, bo n + 3 > 0 zgodnie założeniem, że n ∈ N+. Zatem otrzymujemy:

 

Możemy pomożyć obie strony nierówności przez 4 oraz przez n + 3 bez zmiany znaku nierówności, bo n + 3 > 0 zgodnie założeniem, że n ∈ N+. Zatem otrzymujemy:

 

, czyli

Ponadto, biorąc pod uwagę założenie, że n ∈ N+ otrzymujemy:

 

Odp. Do przedziału należą wyrazy b₃, b₄,b₅, b₆, b₇ i b₈.

 

 

Zad. 2

 

Zapiszemy trójmian kwadratowy 3n² + 23n - 8 w postaci iloczynowej

Δ = 23² - 4 · 3 · (- 8) = 529 + 96 = 625

√Δ = √625 = 25

n₁ = (- 23 - 25) / (2 · 3) = - 48 / 6 = - 8

n₂ = (- 23 + 25) / (2 · 3) = 2 / 6 = ⅓

3n² + 23n - 8 = 3 · (n + 8)(n - ⅓) = (n + 8)(3n - 1)

 

Zatem:

, czyli suma dwóch liczb naturalnych, bo n ∈ N+, jest liczbą naturalną, co należało udowodnić.