Question

hej mam takie zadanko : wyznacz równanie stycznej do okręgu x2(kwadrat)+x2(kwadrat) +4x-2y-5=0 prostopadłej do prostej y=-1/3x-2/3

Answer 1

x^2 + y^2 + 4x - 2y - 5 = 0 

x + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 4 + 1 + 5 

( x + 2)^2 + ( y - 1)^2 = 10         =>  S(-2,1) ,r = pierwiastek z 10 

 

szukana prosta ma postac y = 3x + b       (bo jest prostopadla do y = -1/3x - 2/3 ,wiec  -1/3 * a = -1 )  p.ogolna  3x - y + b = 0 

odleglosc srodka okregu = r  

 

d = l Ax + By + C l  / pier. ( A^2 + B^2 ) 

 

pier.10 = l 3*(-2) + (-1)*1 + b l / pier. ( 3^2 + (-1)^2 )    

pier. 10 * pier.10 = l -6 - 1 + b l  

10 = l b -7 l   =>        b - 7 = 10  v  b - 7 = -10  

odp. b = 17  v b = -3  

 

y = 3x -3   v  y = 3x + 17 

 

 

 

 

Answer 2

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

S = (a, b)  i  r = √(a² + b² - c)

 

x² + y² + 4x - 2y - 5 = 0

-2a = 4       -2b = -2

a = -2            b = 1

S = (-2, 1)   --------  Srodek okregu

r = √(a² + b² - c) = √(4 + 1 + 5) = √10 cm   --------- promień okregu

 

y = ax + b  ------- szukana prosta

 

y = ax + b  _|_  y = -1/3x - 2/3 ⇔  a * (-1/3) = -1

                                                   a = 3

y = 3x + b ----- częściowe równanie naszej prostej, teraz wiemy że jets ona odległa od środka okregu o √10 to ze wzoru na odległość punktu od prostej wyznaczymy b, ztaem

y = 3x + b

3x - y + b = 0 

A = 3,  B = -1,  C = b      x₀ = -2   y₀ = 1

d = r = | Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)    -------- wzór

√10 = | 3 * (-2) + (-1) * 1 + b| / √(3² + (-1)²)

√10 = | (-6) + (-1)  + b| / √(9 + 1)

√10 = | (-7) + b| / √10

10 = |-7 + b|

-7 + b = 10    lub   -7 + b = -10

b = 17                        b = -3

 

odp. y = 3x + 17    lub    y = 3x - 3