Question

W trójkącie prostokątnym ABC o przyprostokątnych długości BC = 6 i AC=4 poprowadzono wysokość CD. Wówczas stosunek pola trójkąta ADC do pola trójkąta ABC jest równy
a) 2
b) 4/3
c) 4/13
d) 2/3

Answer 1

Odpowiedź:

Zauważymy, że trójkąty ADC i ABC są podobne: kąt przy wierzchołku A jest wspólny, drugi kąt w obu trójkątach = 90°, czyli trzeci kąt jest również taki sam. Należy obliczyć stosunek podobieństwa obu trójkątów, czyli ile razy większe (lub mniejsze) wymiary ma jeden trójkąt od drugiego.

W przykładowych trójkątach możemy porównać przeciwprostokątne.

W trójkącie ACD przekątna = 4, w trójkącie ABC, możemy przeciwprostokątna obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

4²+6²=52, zatem przekątna AB = √52

Stosunek podobieństwa ADC do ABC = 4/√52 =4/(2√13) = 2/√13

Ponieważ pole obliczamy w jednostkach kwadratowych, stosunek pól to stosunek podobieństwa do kwadratu.

(2/√13)² = 4/13 - odpowiedź C

Szczegółowe wyjaśnienie:

To, że stosunek pól jest kwadratem stosunku podobieństwa możemy wyliczyć na przykładzie. Jeśli mamy trójkąt prostokątny a, b, c, oraz a₁, b₁, c₁ o stosunku podobieństwa K, to pole drugiego trójkąta można policzyć:

P=1/2*(a*K)*(b*K)= 1/2*a*b*K²