Verifique si f y g son inversas f(g(×))=×y g (f(×)) = × para f(×)=(3×+2)/(1-2× ) y g(×)=(×-5)/(3+2×).... Question from @vamas1228

October 2018 1 17 Report

Verifique si f y g son inversas f(g(×))=×y g (f(×)) = × para f(×)=(3×+2)/(1-2× ) y g(×)=(×-5)/(3+2×)

seeker17 Bueno, para demostrar si la función tiene inversa...tenemos que demostrar dos criterios, si la función es INYECTIVA Y SOBREYECTIVA...

Para la demostración de que f(x) es inyectiva...
Supongamos "a" y "b" elementos del dominio, vamos a demostrar que a=b
es decir, damos por verdadero que f(a)=f(b) y vamos a demostrar que a=b

pero primero para a rea-comodar esa función usando la división de galera.
te la dejo en la primera imagen...
Entonces nos queda así

$f(x)= \frac{3x+2}{1-2x} =- \frac{3}{2} + \frac{7}{2(1-2x)}$

Ahora si hacemos f(a)
$f(a)=- \frac{3}{2} + \frac{7}{2(1-2a)}$
Ahora hacemos f(b)
$f(b)=- \frac{3}{2} + \frac{7}{2(1-2b)}$

Y por la suposición que dimos al comienzo

$f(a)=f(b) \\ - \frac{3}{2} + \frac{7}{2(1-2a)}=- \frac{3}{2} + \frac{7}{2(1-2b)} \\ \frac{7}{2(1-2a)}=\frac{7}{2(1-2b)} \\ \frac{1}{(1-2a)}=\frac{1}{(1-2b)} \\ 1-2b=1-2a \\ -2b=-2a \\ \\ a=b$

Y concluímos que a=b...por lo tanto f(x) si es inyectiva...

De una vez podemos calcular el dominio de la función estás de acuerdo que el denominador no TIENE que ser cero jamás...entonces
decimos que
2(1-2x)≠0
1-2x≠0
x≠1/2

Por lo tanto el dominio son todos los reales exepto el (1/2), si verdad?..en éste punto no existe función....
Ahora vamos a demostrar que f(x) es sobreyectiva, para ésto debemos primero despejar "x"..de la función
NOTA: mira que teníamos que hacer esa división porque caso contrario era imposible despejar la "x"...

$y= -\frac{3}{2} + \frac{7}{2(1-2X)} \\ y+ \frac{3}{2} = \frac{7}{2(1-2x)} \\ \frac{2y+3}{2} =\frac{7}{2(1-2x)} \\ \frac{2y+3}{1} = \frac{7}{1-2x} \\ 1-2x= \frac{7}{2y+3} \\ -2x=\frac{7}{2y+3}-1 \\ x=-\frac{7}{2(2y+3)}+ \frac{1}{2}$

Ahora sí...para demostrar que es o no sobreyectiva, debemos darnos cuenta si el recorrido de la función son todos los reales....para eso primero veamos donde no existe...es decir donde el denominador no puede ser cero

2(2y+3)≠0
2y+3≠0
y≠-(3/2)

Eso significa que la función no es sobreyectiva porque no abarca a todos los reales...los abarca a todos exepto a ese punto...por lo tanto no es sobreyectiva...
Moraleja: debemos buscar si tiene alguna restricción si es que la tiene entonces deja de ser sobreyectiva...

Por lo tanto ésta función no tiene inversa.

Para el segundo hacemos exactamente lo mismo...primero vamos a acomodar esa función haciendo esa división, está en la misma imagen...es la segunda...

entonces nos queda
$g(x)= \frac{1}{2} - \frac{13}{2(3+2x)}$

Empezamos suponiendo que f(a)=f(b) y vamos a demostrar que a=b

$f(a)=f(b) \\ \frac{1}{2} - \frac{13}{2(3+2a)} = \frac{1}{2} - \frac{13}{2(3+2b)} \\ - \frac{13}{2(3+2a)} =- \frac{13}{2(3+2b)} \\ \frac{1}{(3+2a)} =\frac{1}{(3+2b)} \\ 3+2b=3+2a \\ a=b$

Eso significa que para todo elemento del recorrido existe un ÚNICO elemento del dominio...y que si dos imágenes son las mismas...eso significa que a=b¡¡..es decir estoy escogiendo el mismo valor de dominio..

Ahora para demostrar la sobreyectividad...es el mismo procedimiento hay que despejar "x"...entonces tenemos

$y= \frac{1}{2} - \frac{13}{2(3+2x)} \\ y- \frac{1}{2} =- \frac{13}{2(3+2x)} \\ \frac{2y-1}{2} =- \frac{13}{2(3+2x)} \\ 2y-1=- \frac{13}{(3+2x)} \\ 3+2x=- \frac{13}{(2y-1)} \\ 2x=- \frac{13}{(2y-1)}-3 \\ x= - \frac{13}{2(2y-1)}- \frac{3}{2}$

Y mira que ahora tenemos una restricción en el denominador verdad?...y no puede ser 1/2 , por lo tanto existe una restricción por lo tanto no es sobreyectiva...el dominio de ésta función son todos los reales exepto el -(3/2)...y el recorrido son todos los reales exepto el (1/2)

y eso sería todo

En síntesis ninguna de éstas funciones tiene inversa...

otro parámetro para darte cuenta si una función tiene inversa...es imaginar un espejo y la función inversa es el reflejo...abajo te dejo la primera función f(x) la segunda g(x).y la tercera es un ejemplo del espejo que te digo...

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas

Cierto...la cuarta y quinta imagen son las divisiones que tuve que hacer...

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vamas1228 Muchas gracias por tu ayuda