Question

1. Wiadomo że alfa jest wiekszym katem ostrym w trojkacie prostokatnym. wtedy na pewno:

a) sin alfa<tg alfa
b)sin alfa>tg alfa
c)sin alfa<cos alfa
d) cos alfa> 1/tg alfa

PROSZE O DLUZSZE I JASNE ROZWIAZANIE

2. Sinus kata ostrego alfa jest 2 razy wiekszy od jego cosinusa. Wowczas

a) sin alfa= pierwiatek z 5/ 5
b) cos alfa = pierwiatek z 5/ 5
c) tg alfa = 1/3
d) sin alfa=1/3

PROSZE O DLUZSZE I JASNE ROZWIAZANIE

Answer 1

Z.1
α - miara większego kąta ostrego w Δ prostokątnym
Niech x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie o mierze α
y - długość drugiej przyprostokątnej Δ
r - długość przeciwprostokątnej Δ
Ponieważ kąt o mierze α jest większy od drugiego kąta ostrego
zatem y > x
Mamy
sin α = y/r oraz tg α = y/x
ponieważ x < r , to y/r < y/x , zatem
sin α < tg α
Odp.a)
Z dwóch ułamków o równych licznikach ten jest mniejszy,
którego mianownik jest większy.
z.2
Przy tych samych oznaczeniach mamy
sin α = y/r oraz cos α = x/r , ale
sin α = 2 *cos α czyli y/r = 2*(x/r) = (2x)/r ---> y = 2x
Obliczmy r z tw. Pitagorasa
r² = x² + y² = x² +(2x)² = x² + 4x² = 5 x²
zatem r = √5 * x
cos α = x/r = x/ (√5 x) = 1/√5 = [1*√5]/ [√5*√5 ] = √5/5
Odp. b) cos α = √5 /5