1) Tworząca stożka ma długość 10, a tangens kąta nachylenia tej tworzącej do płaszczyzny podstawy st.... Question from @XMarzenaax

December 2018 1 154 Report

1) Tworząca stożka ma długość 10, a tangens kąta nachylenia tej tworzącej do płaszczyzny podstawy stożka wynosi 4/3. Oblicz:a) objętość stożka,b) pole powierzchni całkowitej2) Powierzchnię boczną walca rozcięto wzdłuż jego wysokości i rozłożono, otrzymując prostokąt o polu 120 $\pi \pi$ . Wiedząc dodatkowo, że wysokość walca jest o 140% dłuższa od promienia podstawy walca, oblicz:a) objętość walca,b) długość przekątnej otrzymanego prostokąta.3) Przekrój osiowy bombki choinkowej w kształcie kuli jest kołem o powierzchni 25 pi cm^2. Bombki pokrywa się brokatem, pakowanym w torebki, Jedna taka torebka wystarcza na pokrycie 1dm^2 powierzchni bombki. Ustal, ile torebek z brokatem potrzeba do ozdobienia 20 bombek. W obliczeniach przyjmij, że $\pi$ =3,1.
Do każdego zadania zrób rysunek.

Roma Zad. 1
Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik (rys. 1)
α - kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy
l - tworząca stożka
H - wysokość stożka
r - promień podstawy stożka

$l = 10 \ [j] \\\\
tg \alpha = \frac{4}{3}$

$\left.\begin{array}{l} tg 
\alpha = \frac{4}{3} \\\\ tg\alpha = \frac{H}{r} \end{array} \right\} \
 \Rightarrow \frac{H}{r} =\frac{4}{3} \\\\
\frac{H}{r} =\frac{4}{3} \ / \cdot r \\\\
H =\frac{4}{3} r$

Tworząca, promień i wysokość stożka to boki trójkąta prostokątnego, więc na podstawie tw. Pitagorasa otrzymujemy:
$r^2 + H^2 = l^2 \\\\
r^2 +(\frac{4}{3} r)^2 = 10^2 \\\\
r^2 +\frac{16}{9} r^2=100 \ / \cdot 9 \\\\
9r^2 + 16r^2 =900 \\\\
25r^2 = 900 \ /: 25 \\\\
r^2 =36 \\\\
r = 6 \ [j]$

$H =\frac{4}{3} r =\frac{4}{3} \cdot 6 = 8 \ [j]$

a)
V - objętość stożka
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot H \\\\
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 =\frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8= \pi \cdot 12 \cdot 8 = 96 \pi \ [j^3]$

Odp. Objętość stożka wynosi 96π j³.

b)
Pc - pole powierzchni całkowitej stożka
$P_c = \pi r^2 + \pi rl \\\\
P_c = \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 6 \cdot 10=\pi \cdot 36 + \pi \cdot 60=36\pi +60=96 \pi \ [j^2]$

Odp. Pole całkowite stożka wynosi 96π j².

Zad. 2
Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik (rys. 2)
H - wysokość walca
r - promień podstawy walca
Pb - pole powierzchni bocznej walca

Rozcinając powierzchnię boczną walca wzdłuż jego wysokości otrzymujemy prostokąt o wymiarach 2πr × H.

$P_b = 120 \pi \ [j^2] \\\\
H = r + 140\% \cdot r = r + 1,4r = 2,4 r$

$\left.\begin{array}{l} P_b = 120 \pi \ [j^2] \\\\ P_b =2\pi rH \end{array} \right\} \ \Rightarrow 2\pi rH =120\pi \\\\ 2\pi rH =120\pi \ \ /:2\pi \\\\ rH =60 \\\\
r \cdot 2,4r =60 \\\\
2,4r^2 = 60\ /:2,4 \\\\
r^2= 25 \\\\
r = 5 \ [j] \\\\
 H = 2,4 r= 2,4 \cdot 5 = 12 \ [j]$

a)
V - objętość walca
$V = \pi r^2H = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 12 =\pi \cdot 300=300 \pi \ [j^3]$

Odp. Objętość walca wynosi 300π j³.

b)
d - przekątna powierzchni bocznej walca
Długość przekątnej powierzchni bocznej walca to długość przekątnej prostokąta o wymiarach 2πr × H. Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:
$d^2 = (2\pi r)^2+ H^2 \\\\
d^2 = (2\pi \cdot 5)^2 + 12^2 \\\\
d^2= (10\pi)^2+ 144 \\\\
d^2= 100\pi^2 + 144 \\\\
d = \sqrt{100\pi^2 + 144} =\sqrt{4 \cdot 25\pi^2 + 4 \cdot 36} =\sqrt{4 \cdot (25\pi^2 + 36)} = \\\\
=2\sqrt{25\pi^2 + 36} \ [j]$

Odp. Długość przekątnej otrzymanego prostokąta wynosi $2\sqrt{25\pi^2 + 36}$ j.

Zad. 3
Przekrój osiowy kuli o promieniu r jest kołem o promieniu r, zatem przekrój osiowy bombki choinkowej o promieniu r jest kołem o promieniu r.
P₁ - pole przekroju osiowego kuli (bombki choinkowej)
r - promień kuli (bombki choinkowej) i promień przekroju osiowego (koła wielkiego)
P₂ - pole powierzchni kuli (bombki choinkowej)
π ≈ 3,1

$\left.\begin{array}{l}
 P_1 = 25 \pi \ cm^2 \\\\ P_1 =\pi r^2 \end{array} \right\} \ 
\Rightarrow \pi r^2 =25\pi \\\\ \pi r^2 =25\pi \ \ /:\pi \\\\ r^2 =25 
\\\\ r = 5 \ cm$

$P_2 = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 5^2 = 4\pi \cdot 25 = 100 \pi \approx 100 \cdot 3,1 =310 \ cm^2$

P₃ - powierzchnia 20 bombek choinkowych
$P_3 =20 \cdot P_2 = 20 \cdot 310 = 6200 \ cm^2 = 6200 \cdot 0,01 \ dm^2 =62 \ dm^2$

x - ilość torebek brokatu potrzebnych do ozdobienia 20 bombek choinkowych

1 torebka brokatu - na pokrycie 1 dm² powierzchni bombki choinkowej
x torebek - na pokrycie 62 dm² powierzchni 20 bombek choinkowych

$x = \frac{62 \ dm^2 \cdot 1}{1 \ dm^2} = 62$

Odp. Do ozdobienia 20 bombek choinkowych potrzeba 62 torebki brokatu.

1 votes Thanks 1