Question

Zad. 1
W rombie o boku 12 cm. stosunek przekątnych jest równy √3/3. Oblicz pole i kąty rombu.

Zad. 2
W rombie opisanym na okręgu o promieniu √13 kąt rozwarty jest 5 razy większy od kąta ostrego. Oblicz pole rombu.

Zad. 3
Kąt wpisany w koło o promieniu 10 cm, oparty na łuku AB, ma 35°. Oblicz długość cięciwy AB. Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku.

Answer 1

Zad. 1
W rombie o boku 12 cm. stosunek przekątnych jest równy √3/3. Oblicz pole i kąty rombu.

przekątne mają długości: x i √3/3x
a=12

(1/2x)²+(√3/6x)²=12²
1/4x²+3/36x²=144
9/36x²+3/36x²=144
9/36x²+3/36x²=144
12/36 x²=144
1/3x²=144
x²=432
x=√432
x=12√3 cm
√3/3x=√3/3*12√3=12 cm

P=1/2*12*12√3
P=72√3 cm²

kąty to: 60⁰;60⁰;120⁰;120⁰
bo jak widac krótsza przekątna czyli nasz romb składa się z 2 trójkątów równobocznych


Zad. 2
W rombie opisanym na okręgu o promieniu √13 kąt rozwarty jest 5 razy większy od kąta ostrego. Oblicz pole rombu.

α=5β
α+β=180⁰

6β=180⁰
β=30⁰
α=150⁰

r=√13
h=2r
h=2√13

sinβ=h/a
1/2=2√13/a
a=4√13

P=ah
P=4√13*2√13
P=8*13
P=104

Zad. 3
Kąt wpisany w koło o promieniu 10 cm, oparty na łuku AB, ma 35°. Oblicz długość cięciwy AB. Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku.

Kąt wpisany oparty na łuku AB, ma 35°,
to Kąt środkowy oparty na łuku AB, ma 2*35°=70⁰
r=10 cm
AB obliczamy z tw. cosinusów

AB²=10²+10²-2*10*10*cos70⁰
AB²=200-200*cos70⁰
AB²=200-200*0,3420
AB²=200-68,4
AB²=131,6
AB=11,47

Answer 2

Zadanie 1
d - jedna przekątna
d√3/3 - druga

Przekątne przecinają si w połowie i pod kątem prostym, z tw. Pitagorasa:
12² = (d/2)² + [(d√3/3)/2]²
144 = d²/4 + 3d²/9*4
144 = d²/4 + d²/3*4
144 = 4d²/12 = d²/3
d = √144*3 = 12√3

Pole to połowa iloczynu przekątnych:
P = d*(d√3/3) = d²√3/6 = 144*3*√3/6 = 72√3

Pole to również:
72√3 = P = 12*12*sinα
sinα = 72√3/144 = √3/2
α = 60°, β = 120°


zadanie 2
α + 5α = 180°
α = 180°/6 = 30°
5α = 150°

1/2 = sin30° = h/a
h = a/2
a = 2h
h = 2r (prostopadła do obu dwóch przeciwległych boków)

wzór na pole równoległoboku (każdy romb jest równoległobokiem):
P = ah = 2h² = 8r² = 104

zadanie 3
Czyli kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą:
α = 2*35° = 70°

O - środek okręgu
Wysokość ABO opuszczona na AB dzieli kąt α na pół, a jej punkt wspólny z AB dzieli AB na dwa:
sin(α/2) = sin35° = (|AB|/2)/r
|AB| = 2r*sin35° = 20*sin35° ≈ 20*0,5736 ≈ 11,47

jak masz pytania to pisz na pw