Question

1. W sklepie "Warzywko" sprzedano pomarańcze w cenie 6 złotych za kilogram. Cenę jednego kilograma tych pomarańczy obniżono i wówczas liczba sprzedanych kilogramów zwiększyła się o połowę, a wpływy wzrosły o 12,5% w stosunku do dnia poprzedniego. O ile obniżono cenę jednego kilograma pomarańczy?

2.Obwód prostokąta wynosi 120 cm. Dwusieczna jednego z kątów dzieli obwód na dwie części różniące się o 40cm. Oblicz pole prostokąta.

3.Tę samą dwucyfrową liczbę naturalną napisano trzy razy obok siebie. Uzasadnij, że każda uzyskana w ten sposób liczba 6-cio cyfrowa dzieli się przez 7.

4.Dwa okręgi o różnych promieniach są zewnętrznie styczne do siebie i oba styczne wewnętrznie do trzeciego okręgu o średnicy 30cm. Środki tych okręgów są wierzchołkami trójkąta. Oblicz obwód tego trójkąta.

5.Piechur idąc na stację, po przejściu w ciągu godziny 3,5km zorientował się, że idąc dalej z tą samą prędkością spóźni się na pociąg o 1 godzinę. Przyśpieszył i pozostałą drogę przeszedł z prędkością 5km/h. Na stację przyszedł 30 minut przed odejściem pociągu. Wyznacz długości drogi jaką przeszedł piechur idąc na stację.

6.Piła ma 60cm długości i zęby będące trójkątami równoramiennymi. Wysokość każdego z zębów jest równa 2/3 jego podstawy. Po zębach piły maszeruje mrówka. Jaką drogę przejdzie pokonując wszystkie zęby?

Proszę o pełne rozwiązania z dokładnym wyjaśnieniem. Powodzenia ;)

Answer 1

1. W sklepie "Warzywko" sprzedano pomarańcze w cenie 6 złotych za kilogram. Cenę jednego kilograma tych pomarańczy obniżono i wówczas liczba sprzedanych kilogramów zwiększyła się o połowę, a wpływy wzrosły o 12,5% w stosunku do dnia poprzedniego. O ile obniżono cenę jednego kilograma pomarańczy?
x-kwota obniżki
y-liczba sprzedanych kg
6 złotych za kilogram
(6-x)(y+1/2y)=112,5%*6y
(6-x)(3/2y)=112,5%*6y /:y
(6-x)3/2=6,75
9-1,5x=6,75
1,5x=9-6,75
x=2,25/1,5
x=1,5 zł

2.Obwód prostokąta wynosi 120 cm. Dwusieczna jednego z kątów dzieli obwód na dwie części różniące się o 40cm. Oblicz pole prostokąta.

2a+2b=120→a+b=60
2a+40=b+a+b-a→2a+40=2b→a+20=b

a+a+20=60
2a=40
a=20
b=40
P=20*40=800 cm²

3.Tę samą dwucyfrową liczbę naturalną napisano trzy razy obok siebie. Uzasadnij, że każda uzyskana w ten sposób liczba 6-cio cyfrowa dzieli się przez 7.

xyxyxy
y+10x+100y+1000x+10000y+100000x=101010x+10101y
101010x+10101y=7(14430x+1443y)
czyli jest podzielna przez 7

4.Dwa okręgi o różnych promieniach są zewnętrznie styczne do siebie i oba styczne wewnętrznie do trzeciego okręgu o średnicy 30cm. Środki tych okręgów są wierzchołkami trójkąta. Oblicz obwód tego trójkąta.

2R=30cm
a=R-r₁
b=R-r₂
c=r₁+r₂
a+b+c=?
a+b+c=R-r₁+R-r₂+r₁+r₂=2R=30cm

5.Piechur idąc na stację, po przejściu w ciągu godziny 3,5km zorientował się, że idąc dalej z tą samą prędkością spóźni się na pociąg o 1 godzinę. Przyśpieszył i pozostałą drogę przeszedł z prędkością 5km/h. Na stację przyszedł 30 minut przed odejściem pociągu. Wyznacz długości drogi jaką przeszedł piechur idąc na stację.

S- 3,5km+x
x- droga po zatrzymaniu podczas której przyspieszył
t- czas do przejścia x

x=5*(t-1/2)
x=(t+1)3,5

5*(t-1/2)=(t+1)3,5
5t-2,5=3,5t+3,5
1,5t=6
t=4h
x=(4+1)3,5
x=17,5km
S=3,5+17,5
S=21km

6.Piła ma 60cm długości i zęby będące trójkątami równoramiennymi. Wysokość każdego z zębów jest równa 2/3 jego podstawy. Po zębach piły maszeruje mrówka. Jaką drogę przejdzie pokonując wszystkie zęby?

ramię zęba wynosi:
(2/3x)²+(1/2x)²=y²
4/9x²+1/4x²=y²
y²=(16+9)/36 x²
y=5/6x
ilość zębów=60/x
2*60/x*5/6x=2*60*5/6=100cm

Answer 2

1.
x - kwota obniżki
y - liczba sprzedanych kilogramów pomarańczy

(6 - x)(y + ½y) = 6y * 112,5%
1,5y(6 - x) = 6y * 1,125 |:y
1,5(6 - x) = 6,75
9 - 1,5x = 6,75
- 1,5x = - 9 + 6,75
- 1,5x = - 2,25 |:(-1,5)
x = 1,5 zł

2.
O = 2(a + b)
O = 120 cm
2(a + b) = 120 |:2
a + b = 60

2a - 2b = 40 |:2
a - b = 20
a = 20 + b

a + b = 60
a + a + 20 = 60
2a = 60 - 20
2a = 40 |:2
a = 20cm

b = 60 - a
b = 60 - 20
b = 40cm

P=20cm * 40cm = 800 cm²

3.
x - cyfra dziesiątek
y - cyfra jedności
10x + y - liczba dwucyfrowa

xy xy xy
100 000x + 10 000y + 1000x +100y + 10x +1y =101010x + 10101y = 7(14430x + 1443y)
czyli jest podzielna przez 7, bo jeżeli przynajmniej jeden czynnik jest podzielny przez 7 to cały iloczyn też jest podzielny przez 7

4.
ś = 2r = 30cm
a, b, c - boki trójkąta
a = r - r₁
b = r - r₂
c = r₁+ r₂
a + b + c = ?
a + b + c = r - r₁+ r - r₂+ r₁+ r₂= 2r = 30cm

5.
s₁= 3,5km
v₂= 5km/h


6.
a - bok każdego zęba (jednego trójkąta)
h = ⅔a - wysokość każdego zęba

Answer 3

1.
x-kwota obniżki
y-liczba sprzedanych kg
6 złotych za kilogram
(6-x)(y+1/2y)=112,5%*6y
(6-x)(3/2y)=112,5%*6y /:y
(6-x)3/2=6,75
9-1,5x=6,75
1,5x=9-6,75
x=2,25/1,5
x=1,5 zł

2.
2a+2b=120→a+b=60
2a+40=b+a+b-a→2a+40=2b→a+20=b

a+a+20=60
2a=40
a=20
b=40
P=20*40=800 cm²

3

xyxyxy
y+10x+100y+1000x+10000y+100000x=101010x+10101y
101010x+10101y=7(14430x+1443y)
czyli jest podzielna przez 7

4.

2R=30cm
a=R-r₁
b=R-r₂
c=r₁+r₂
a+b+c=?
a+b+c=R-r₁+R-r₂+r₁+r₂=2R=30cm

5.
S- 3,5km+x
x- droga po zatrzymaniu podczas której przyspieszył
t- czas do przejścia x

x=5*(t-1/2)
x=(t+1)3,5

5*(t-1/2)=(t+1)3,5
5t-2,5=3,5t+3,5
1,5t=6
t=4h
x=(4+1)3,5
x=17,5km
S=3,5+17,5
S=21km

6.

ramię zęba wynosi:
(2/3x)²+(1/2x)²=y²
4/9x²+1/4x²=y²
y²=(16+9)/36 x²
y=5/6x
ilość zębów=60/x
2*60/x*5/6x=2*60*5/6=100cm