Question

Bardzo PILNE!!!!
Znaleźć ekstrema funkcji oraz punkty przegięcia odpowiadających jej krzywych:
y= x⁵-5x⁴+5x³+1
Zaleźć ekstrema funkcji i równania asymptot odpowiadających jej krzywych:
y= 6x / x²+2x+4

Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:
a) y=x4-5/4 x+¼
b) y=x²+2x+25 / (x+1)²
c) y= x2/3+ (x-2)2/3
d) y= sin⁴x+cos⁴ x
W załączniku jest więcej zadań:)

Answer 1

Y= x⁵-5x⁴+5x³+1
y' = 5x⁴-20x³ + 15x² = 5x²(x²-4x+15)

5x²=0 ∨ x²-4x+15=0
x²=0 ∨ Δ<0
x₀=0 (podwojne)

wykres to "usmiechnieta" parabola, miejsce zerowe = 0

f'(x)<0 <=> x∈(-∞,0)
f'(x)>0 <=> x∈(0,∞)

tabelka:

.....|(-∞,0)|. 0 . | (0,∞)
f'(x)|.. - .. |. 0 . | +
f(x) |. → . |min. | ←

kropek użyłam po to żeby się tabelka później nie zlała.

→ f. rosnąca
← f. malejąca
___________________________________________________________

y= 6x / (x²+2x+4)
y' = [6(x²+2x+4) - 6x(2x+2)] / (x²+2x+4)²

y' = [6x²+12x+24-12x²-12x] / (x(x+2) + 4)²

y' = (-6x²+24) / (x²(x+2)² + 8x(x+2) + 16)

y' = (-6x²+24) / (x²(x²+4x+4)+8x²+16x+16)

y' = (-6x²+24) / (x⁴+4x³+4x²+8x²+16x+16)

y' = (-6x²+24) / (x⁴+4x³+12x²+16x+16)

(-6x²+24)(x⁴+4x³+12x²+16x+16)=0

juz mi sie nie chce tego liczyć, w każdym razie obliczasz miejsca zerowe, potem gdzie funkcja(pochodna) jest dodatnia, gdzie ujemna no i robisz tabelke.

asymptoty:

y= 6x / (x²+2x+4)

a) pionowa
x²+2x+4=0
Δ=4-16<0 (czyli brak pionowych asymptot)

b) ukosna

lim(x→∞) [6x / x(x²+2x+4)] =a

lim(x→∞) [(6x / (x²+2x+4)) -ax ]

i to są współczynniki asymptoty o równaniu y=ax+b

15pkt to troche za malo na dalsze obliczenia ale chcialam pomoc ;p