Question

3. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con las siguientes opciones 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si cada digito se puede usar solo una vez y además
a) Ellos deben ser números impares
b) Ellos deben ser números mayores que 330

Answer 1

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Se pueden formar 90 números impares y 105 números mayores que 330

Una permutación es manera de formar n elementos en grupo de r elementos, donde importar el orden de selección la ecuación de cantidad de permutaciones es:

Perm(n,r) = n!/(n-r)!

Si r = 1

Perm(n,1) = n

Un número es par: si termina en 0 o en un número par, de lo contrario es impar

Tenemos 7 números: 0,1,2,3,4, 5 y 6

Cada dígito puede esta solo una vez

a) Ellos deben ser números impares: queremos formar un número de 3 dígitos:

Si tomamos primero el ultimo dígito tendremos las posibilidades 1, 3, 5 (para que sea impar) entonces de ellas quiero tomar uno, es decir, las posibilidades para el ultimo dígito serán las permutaciones de 3 en 1 que son:

Perm(3,1) = 3

Para el primer y segundo dígito: tendremos ahora 6 posibilidades  ( las 7 posibilidades iniciales menos el dígito que se coloca al ultimo dígito) de ellas quiero tomar dos, donde importa el orden, es decir, la cantidad de posibilidades para el primer y segundo dígito sera la cantidad de permutaciones de 6 en 2:

Perm(6,2) = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6*5 = 30

La cantidad de números a formar sera:

3*30 = 90

b) Ellos deben ser números mayores a 330: el primer dígito debe ser mayor o igual a 3 consideraremos dos casos.

• Si el primer dígito es 3: entonces el segundo dígito para que el número sea mayor a 330 tendrá las opciones 4,5, y 6 que serán permutaciones de 3 en 1 y el tercer dígito tendrá las opciones 0,1,2,4,5,6  que son 6 opciones menos segundo dígito, es decir, tiene 5 opciones, por lo tanto la cantidad de números a formar es:

1*Perm(3,1)*Perm(5,1) = 1*3*5 = 15

• Si el primer dígito es distinto de 3: entonces el primer dígito para que sea mayor que 330 debe ser 4,5 o 6, es de, tiene tres opciones, luego el segundo y tercer dígito tendrán 6 opciones ( las 7 opciones de un principio menos el numero que aparece en el primer digito), por lo tanto la cantidad de números a formar es:

Perm(3,1)*Perm(6,2) = 3*6!/(6-2)! = 3*6!/4! = 3*6*5 = 3*30 = 90

La cantidad total de números con esta condición es:

15 + 90 = 105