1. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji z = ysinx + e^{2x} * y^{2}2. Znaleźć ekstrema .... Question from @karola630

November 2018 1 24 Report

1. Obliczyć
pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji z = ysinx + e^{2x} * y^{2}
2. Znaleźć
ekstrema lokalne funkcji f(x,y)= -x^3 + 1/2y^2 + xy -4y

Roma Zad. 1
$z = y \cdot sin \ x +e^{2x} \cdot y^2$

Wyznaczamy pochodne pierwszego rzędu:
$\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot cos \ x +2e^{2x} \cdot y^2 \\\\
\frac{\partial z}{\partial y} = sin \ x +2e^{2x} \cdot y$

Wyznaczamy pochodne drugiego rzędu:
$\frac{\partial^2
 z}{\partial x^2} = - y \cdot sin \ x +4e^{2x} \cdot y^2 \\\\ 
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =2e^{2x} \\\\ \frac{\partial^2 
z}{\partial x \partial y} =cos \ x +4e^{2x} \cdot y \\\\ 
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} =cos \ x +4e^{2x} \cdot y$

Zad. 2
$f(x,y)= -x^3 + \frac{1}{2}y^2 + xy -4y$
Dziedzina:
$D =R^2$

Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe:
$f'_x(x,y)= -3x^2 + y \\\ f'_y(x,y)= y + x - 4$

Przyrównujemy te pochodne do zera, tworząc układ równań:
$\left \{ {{-3x^2 + y=0} \atop {y + x - 4=0}} \right. \\\\
\left \{ {{y=3x^2} \atop {3x^2 + x - 4=0}} \right.$
Rozwiązujemy II równanie układu:
$3x^2 + x - 4=0 \\\
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \\\
x_1 = \frac{-1-\sqrt{49}}{2 \cdot 3} =\frac{-1-7}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3} \\\
x_2 = \frac{-1+\sqrt{49}}{2 \cdot 3} =\frac{-1+7}{6}=\frac{6}{6}=1$
Stąd:
$\left \{ {{x = -\frac{4}{3} \atop {y=3 \cdot (-\frac{4}{3})^2}} \right. \ lub \ \left \{ {{x = 1} \atop {y=3 \cdot 1^2}} \right. \\\\
\left \{ {{x = -\frac{4}{3} \atop {y=3 \cdot \frac{16}{9}}} \right. \ lub \ \left \{ {{x = 1} \atop {y=3 \cdot 1}} \right. \\\\
\left \{ {{x = -\frac{4}{3} \atop {y=\frac{16}{3}}} \right. \ lub \ \left \{ {{x = 1} \atop {y=3}} \right.$

Zatem otrzymujemy dwa punkty stacjonarne, w których mogą znajdować się ekstrema lokalne:
$P_1 = (-\frac{4}{3}; \ \frac{16}{3}) \ i \ P_2 = (1; \ 3)$

Liczymy drugie pochodne cząstkowe:
$f''_{xx}(x,y)=-6x \\\\
f''_{yy}(x,y)=1 \\\\
f''_{xy}(x,y)=1\\\\
f''_{yx}(x,y)=1$

Tworzymy wyznacznik z drugich pochodnych:
$W(x,y)=\left|\begin{array}{ccc}f''_{xx}&f''_{xy}\\f''_{yx}&f''_{yy}\end{array}\right| =\left|\begin{array}{ccc}-6x&1\\1&1\end{array}\right|=-6x \cdot 1 - 1 \cdot 1 = - 6x - 1$

Wyznaczamy wartości wyznacznika W(x,y) w punktach stacjonarnych i badamy charakter tych punktów:
$W(-\frac{4}{3}; \ \frac{16}{3})= - 6x - 1 = - 6 \cdot (-\frac{4}{3}) - 1 = 8 - 1 = 7 > 0 \\\\ f''_{xx}(-\frac{4}{3}; \ \frac{16}{3}=- 6 \cdot (-\frac{4}{3}) = 8 > 0 \\\\ Zatem \ funkcja \ w \ punkcie \ (-\frac{4}{3}; \ \frac{16}{3}) \ ma \ minimum \ lokalne \\\\ W(1; \ 3)= - 6x - 1 = - 6 \cdot 1 - 1 = -6 - 1 = -7 < 0 \\\\ Zatem \ funkcja \ w \ punkcie \ (1; \ 3) \ nie \ ma \ ekstremum \ lokalnego$

Obliczamy wartości funkcji w tym punkcie $(-\frac{4}{3}; \ \frac{16}{3})$ :
$f(-\frac{4}{3}; \ \frac{16}{3}) = -(-\frac{4}{3})^3 + \frac{1}{2} \cdot (\frac{16}{3})^2 + (-\frac{4}{3}) \cdot (\frac{16}{3}) -4 \cdot (\frac{16}{3}) =\\\\ = -(-\frac{64}{27}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{256}{9} -\frac{64}{9} -\frac{64}{3} =\frac{64}{27} + \frac{128}{9} -\frac{192}{27} -\frac{576}{27} = \\\\ =\frac{64}{27} + \frac{384}{27} -\frac{192}{27} -\frac{192}{27} =-\frac{320}{27}=-11\frac{23}{27}$

Odp.
$Funkcja \ f \ ma \ minimum \ lokalne \ f_{min} = -11\frac{23}{27} \ w \ punkcie: \\\ (-\frac{4}{3}; \ \frac{16}{3}).$

0 votes Thanks 1

Roma System dodaje kopię formuły, więc fragmentu "Zatem \ funkcja \ w \ punkcie....formula'>", proszę nie brać pod uwagę, bo nie potrafię tego usunąć mimo edycji rozwiązania