Question

1. Obliczwyróżnik trójmianu kwadratowego. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tego trójmianu.

a)y=x^2=4x-3

b)y=-3/4x^2+x+1

2. Zapisz wzór funkcji kwadratowej y=ax^2+6x-8 w postaci kanonicznej, jeśli jej wykresem jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa xw.

a)xw=-3

b)xw=3/2

3. Rozwiąż równanie

a)24x-x^2=144

b)(x-3)(x-2)=7x-30

4. Wyznacz wspólne miejsca zerowe funkcji f i g

a)f(x)=x^2-2x-3, g(x)=3x^2+2x-1

b) f(x)=3x^2-8x+4, g(x)=-3x^2-4x+4

c)f(x)=x^2-3/2x-1, g(x)=-2x^2+3x+2

5. Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej.

a)y=x^2-x-6

b)y=-1/2x^2+3x+7

c)3x^2-10x-8

d)-4x^2+2x+1

6. Wyznacz dziedzinę funkcji f.

a)f(x)=pod pierwiastkiem 8-x^2

b)f(x)=pod pierwiastkiem 6x^2-7x-5

c)f(x)=pod pierwiastkiem x^2+x

7. Wyznacz wartości najmniejsze i największe funkcji f(x)=-x^2+4x-1 oraz g(x)=1/2x^2+x-3

a)<0;4>

b)<-2;0>

c)<-4;6>

8. Prostokątny trawnik ma powierzchnię 216m^2. Oblicz wymiary tego trawnika- różnią się one o a)6m b)15m

9. Wokół basenu o wymiarach 4mx8m wyłożono kafelkami pas o szerokości x. Jaka jest szerokość tego pasa, jeśli ma on powierzchnię 45m^2?

10. Plac zabaw ma kształt prostokątna o wymiarach 12mx18m. Szerokość placu zwiększono o xm, a długość o 2xm. Oblicz x, jeśli powierzchnia placu wzrosła o 144m^2

11. Reprodukcję obrazu o powierzchni P oprawiono w ramę o wymiarach zewnętrznych x x y. Oblicz szerokość tej ramy

a)P=2400cm^2 x=80cm, y=60cm

b)P=2700cm^2 x=75cm, y=55cm

12. Dany jest prostokąt o wymiarach 3cm x 10cm. Jego długość i szerokość zwiększono o x cm. Dla jakich wartości x przekątna nowego prostokątna ma długość większą od 13cm?

13. Wskaż, że istnieje tylko jeden trójkąt prostokątny, którego boki mają długości równe kolejnym liczbom

a)naturalnym

b)parzystym

Są to zadania, których potrzebuje na jutrzejszy sprawdzian z matematyki, odwdzięczę się za poprawne odpowiedzi. ;) z Góry bardzo dziękuję. Za 9 zadań daje najlepsze :)

Answer 1

Rozwiązania w załącznikach

Answer 2

1.a)y=x²+4x-3

Δ = 4²+3*4 = 16+12 = 28

p = -4/2 = -2

q = -28/4 = -9

 

 

b)y=-¾x²+x+1

Δ = 1²+¾*4 = 4

p = 1/³/₂ = ⅔

q = 4/3 = 1⅓

 

 

2.a)xw=-3

y = (x+3)² -17

 

 

b)xw=1½

a = -2

y = -2(x-1½)²-³²/₉

 

 

3. Rozwiąż równanie

 

a)24x-x²=144

-x² + 24x - 144 = 0

Δ = 24² - 144*4 = 576 - 576 = 0

x = -24/-2 = 12

 

 

b)(x-3)(x-2)=7x-30

x² - 2x - 3x + 6 = 7x - 30

x² -12x + 36 = 0

(x-6)² =0

x = 6

 

 

4. a)f(x)=x²-2x-3, g(x)=3x²+2x-1

Δf = (-2)² + 3*4 = 16

√Δ = 4

x₁ = 2-4/2 = -1

x₂ = 2+4/2 = 3

 

Δg = 2² + 4*3 = 16

tak jak wyżej.

 

 

b) f(x)=3x²-8x+4, g(x)=-3x²-4x+4

Δf = (-8)²-4*4*3 = 16

√Δ = 4

x₁ = 8-4/6 = ⅔

x₂ = 8+4/6 = 2

 

Δg = (-4)²+3*4*4 = 64

√Δ = 8

x₁ = 4-8/6 = -⅔

x₂ = 4+8/6 = 2

 

 

c)f(x)=x²-1½x-1, g(x)=-2x²+3x+2

Δf = (-1½)² +4 = ²⁵/₄

√Δ = ⁵/₂

x₁ =(1½-⁵/₂)*½ = -½

x₂ = (1½+⁵/₂)*½ = 2

 

Δg = 3²+2*2*4 = 25

√Δ = 5

x₁ = -3-5/-4 = 2

x₂ = -3+5/-4 = -½

 

 

 

5. a)y=x²-x-6

Δ = (-1)²+4*6 = 25

√Δ = 5

x₁ = 1-5/2 = -2

x₂ = 1+5/2 = 3

y = (x+2)(x-3)

 

 

b)y=-½x²+3x+7

Δ = 3²+2*7 = 36

√Δ = 6

x₁ = 3+6 = 9

x₂ = -3+6 = 3

y = -½(x-9)(x-3)

 

 

c)3x²-10x-8

Δ = (-10)²+8*4*3 = 196

√Δ = 14

x₁ = 10+14/6 = 4

x₂ = 10-16/6 = -1

y = 3(x-4)(x+1)

 

 

d)-4x²+2x+1

Δ = 2²+4*4 = 20

√Δ = 2√5

x₁ =2+2√5/8 = (1+√5)/4

x₂ = (-1+1√5)/4

y = -4(x - (1+√5)/4)(x-(-1+1√5)/4)

 

 

6. Wyznacz dziedzinę fu

 

nkcji f.

 

a)f(x)=√8-x²

8-x² ≥ 0

-x² ≥ -8

x ≤ 2√2

D = (-∞, 2√2>

 

 

b)f(x)=√6x²-7x-5

6x² - 7x - 5 ≥ 0

Δ = (-7)²+4*5*6 = 169

√Δ = 13

x₁ = 7-13/12 = -½

x₂ = 7+13/12 = 1⅔

D = (-∞, -½>u<1⅔, ∞)

 

 

c)f(x)=√x²+x

x² + x ≥ 0

x(x-1) ≥ 0

x = 0

x = 1

D = (-∞,0>u<1,∞)

 

7.  f(x)=-x²+4x-1g(x)=½x²+x-3

 

a)<0;4>

f(0) = 0²+4*0 -1 = -1

f(4) = -4²+4*4-1 = -1

 

g(0) = ½*0+0-3 = -3

g(4) = ½*4²+4-3 = 9

 

 

b)<-2;0>

 

c)<-4;6>

 

 

8. 216m²

a)a - jeden bok

a+6 - kolejny

a*(a+6) = 216

a² + 6a - 216 = 0

Δ = 6²+216*4=900

√Δ = 30

a₁ = -6-30/2 = -18 < nie może być ujemne

a₂ = -6+30/2 = 12

12m x 18m

 

b)b - bok

b + 15 - kolejny

b(b+15) = 216

b² + 15b - 216 = 0

Δ = 15²+216*4 = 1089

√Δ = 33

b₁ = -15-33/2 = -24

b₂ = -15+33/2 = 4

4m x 19m

 

 

9. (8+2x)(4+2x) = 45

32 + 16x + 8x + 4x² = 45

4x² + 24x  -13 = 0

Δ = 24²+4*4*13 = 784

√Δ = 28

x₁ = -24-28/8 = -6,5 < nie moze byc ujemne

x₂ = -24+28/8 = ½

 

 

10. 12*18  = 216

(12+x)(18+2x) = 144+216

216 + 24x + 18x + 2x² = 360

2x² + 42x -144 = 0

Δ = 42²+4*144*2 = 2916

√Δ = 54

x₁ = -42-54/4 = -24

x₂ = -42+54/4 = 2

 

 

11.  a)a -szerokosc

P = 80*60-(80-2a)(60-2a)

2400 = 4800 - 4800 + 160a + 120a -4a²

-4a² + 280a - 2400 = 0

Δ = 280² -4*4*2400 = 40000

√Δ = 200

a₁ = -280-200/-8 = 60

a₂ = -280+200/-8 = 10

 

 

b)b - szerokosc

 

2700 = 75*55-(75-2b)(55-2b)

2700 = 4125 - 4125 + 150b + 110b - 4b²

-4b² + 260b - 2700 = 0

Δ = 260²-2700*4*4 = 2440

√Δ = 20√61

x₁ = -260-20√61/-8 = 32,5 + 2,5√61

x₂ = -260+20√61/-8 = 32,5-2,5√61

 

 

12. (3+x)²+(10+x)²>13²
9+6x+ x²+100+20x+x²>169
2x²+26x-60 > 0
x²+ 13x -30 > 0
Δ=169+120 = 289
√Δ=17
x₁=(-13-17)/2=-15
x₂=(-13+17)/2=2

 

 

13. a)n, n+1,n+2 - boki Δ
n²+(n+1)²=(n+2)²
n²+n²+2n+1=n²+4n+4
n²-2n-3=0
Δ=2+4*3=16
√Δ=4
n₁=2-4/2=-1
n₂=2+4/2=3

 Tylko 1 taki Δ

b) 2n, 2n+2, 2n+4 - boki trójkątów
(2n)²+(2n+2)²=(2n+4)²
4n²+4n²+8n+4=4n²+16n+16
4n²-8n-12=0
n²-2n-3=0
Δ=2+4*3=16
√Δ=4
n₁=2-4/2=-1
n₂=2+4/2=3

 

Jest tylko 1 taki Δ.