Question

Dana jest funkcja f(x)=(1/2)x+1
okresl
a)dziedzine funkcji
b)zbiór wartości
c)miejsce zerowe
d)zbiór tych argumentów,dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz zbiór tych argumentów,dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne
e)monotoniczność funkcji
f)czy jest równowartościowa
dla jakich argumentów osiaga wartość najmniejszą a dla jakich wartość największą

Answer 1

f(x)=(1/2)x+1
(jest to funkcja liniowa postaci ax+b, czyli a=1/2, b=1)

a)dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R
b) zb. wartości funkcji liniowej postaci f(x)=ax+b, jeśli a≠0 jest zbiór liczb rzeczywistych R, a jeśli a=0 to wtedy zbiorem wartości funkcji byłby zbiór jednoelementowy {b}

c) miejsce zerowe - należy rozwiązać równanie, kiedy funkcja jest równa zero:
(1/2)x+1=0 /-1(odejmujemy -1 od obu stron)
(1/2)x=-1 /(dzielimy przez 1/2 obie strony, czyli to co stoi przy iksie)
x=-2

d) (1/2)x+1>0
x>-2
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x>-2
(1/2)x+1<0
x<-2
Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x<-2

e)Monotoniczność czyli czy funkcja jest rosnaca, malejąca czy stała.
Odp. Funkcja jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Dowód:
Z definicji wiemy, że jeśli funkcja jest liniowa postaci f(x)=ax+b i a>0 to funkcja jest rosnąca.
Jeśli a<0 to f.malejąca.
Jeśli a=0 to f. stała.
U nas a=1/2 więc a>0 czyli f. rosnąca

Można to też dowodzić korzystając z ogólnej definicji na funkcję rosnącą:
bierzemy dowolne dwa argmenty x1, x2 takie że x1<x2. Jeśli f(x1)<f(x2) tzn. że funkcja jest rosnąca. Jeśli f(x1)>f(x2) tzn że malejąca.
np. x1=2
x2=4
f(x1)=(1/2)*2+1=2
f(x2)=(1/2)*4+1=3
czyli f(x1)<f(x2) f. rosnąca

f)TAK, jest różnowartościowa.
Def: Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze R wtedy i tylko wtedy gdy dla x1≠x2 (należące do R) f(x1)≠f(x2)
x1=2
x2=4
f(x1)=2
f(x2)=3
f(x1)≠f(x2)

g) Dla zbioru liczb rzeczywistych funkcja liniowa nie ma ekstremum, więc nie osiąga wartości największej ani najmniejszej.

Pozdrawiam