Question

1. W pięciokącie kąty wewnętrzne kolejno mają się do siebie jak 1:3:3:4:4. Oblicz miary tych kątów. Czy ten pięciokąt jest wypukły?

2. Długości boków jednego pięciokąta mają się do siebie jak 2:5:1:3:4, a jego obwód jest równy 30 cm. Oblicz długość boków drugiego pięciokąta, będącego obrazem pierwszego w podobieństwie o skali 5/2.

Answer 1

Zad.1
Suma kątów wewnętrznych pięciokąta 540⁰
[wzór (n-2)*180⁰, gdzie n liczba wierzchołków]
stosunek miar kątów pięciokąta wynosi 1:3:3:4:4,
stąd 1 + 3 + 3 + 4 + 4 = 15
pierwszy kąt ¹/₁₅ z 540⁰ = 36⁰
drugi kąt ³/₁₅ z 540⁰ = 108⁰
trzeci kąt ³/₁₅ z 540⁰= 108⁰
czwarty kąt ⁴/₁₅ z 540⁰ = 144⁰
piąty kąt ⁴/₁₅ z 540⁰ = 144⁰

Odp. Każdy z tych kątów ma miarę mniejszą niż 180⁰,
więc pięciokąt o kątach 36⁰, 108⁰, 108⁰, 144⁰, 144⁰ jest wypukły.

Zad.2
Obwód pięciokąta 30 cm
stosunek długości boków pierwszego pięciokąta
wynosi 2:5:1:3:4,
stąd 2 + 5 + 1 + 3 + 4 = 15
pierwszy bok ²/₁₅ z 30 cm = 4 cm
drugi bok ⁵/₁₅ z 30 cm = 10 cm
trzeci bok ¹/₁₅ z 30 cm = 2 cm
czwarty bok ³/₁₅ z 30 cm = 6 cm
piąty bok ⁴/₁₅ z 30 cm = 8 cm

Obliczamy długość boków drugiego pięciokąta w skali ⁵/₂,
pierwszy bok ⁵/₂ z 4 cm = 10 cm
drugi bok ⁵/₂ z 10 cm = 25 cm
trzeci bok ⁵/₂ z 2 cm = 5 cm
czwarty bok ⁵/₂ z 6 cm = 15 cm
piąty bok ⁵/₂ z 8 cm = 20 cm

Odp. Długości boków drugiego pięciokąta wynoszą
10 cm, 25 cm, 5 cm, 15 cm, 20 cm.