Question

1. w romb wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokiem dzieli bok na odcinki długości 4cm i 9cm. Oblicz długość przekątnych i wysokość rombu.

2. W trapezie wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z dłuższą podstawą trapezu dzieli tę podstawę na odcinki długości 2,5dm i 4 dm. Wysokości trapezu ma długość 4dm. oblicz obwód tego trapezu.

Proszę o szybka odpowiedz

Answer 1

Zadanie 1.
Przekątne rombu przecinają się w połowie tworząc trójkąty prostokątne.
x - połowa przekątnej
y - połowa drugiej przekątnej

Z tw Pitagorasa
x² + y² = 13²
x² + y² = 169

Środek okręgu leży w punkcie przecięcia się przekątnych, natomiast promienie poprowadzone do punktów styczności są do odpowiednich boków prostopadłe. Narysuj jeden taki promień. Znowu powstaną trójkąty prostokątne.

x² = 4² + r²
y² = 9² + r²

Wstawiamy do pierwszego równania:

16 + r² + 81 + r² = 169
2r² = 72
r² = 36
r = 6

Wstawiamy do poprzednich równań, aby policzyć przekątne.
x² = 16 + 36
x² = 52
x = 2√13
2x = 4√13 (cała przekątna)

y² = 81 + 36
y² = 117
y = √117
2y = 2√117 (cała przekątna)

Wysokość rombu jest równa dwom promieniom, zatem
h=12

Sprawdzenie. Wystarczy porównać pola.
P = ah = 13*12 = 156
P = 0,5ef = 0,5 * 2√117 * 4√13 = 4√1521 = 4*39 = 156
____________________________________________

Zadanie 2.
h = 4
a = 6,5 - dolna podstawa
x+y - górna podstawa (krótsza)
2,5+x - jedno z ramion (po stronie odcinka 2,5 na podstawie)
4+y - drugie ramię

Po narysowaniu obu wysokości na dłuższej podstawie wyznaczony zostaje odcinek x+y. Podstawa została podzielona na odcinki: 2,5-x, x, y, 4-y.

Z tw Pitagorasa:
(2,5-x)² + 4² = (2,5+x)²
6,25-5x+x²+16=6,25+5x+x²
10x=16
x=1,6

(4-y)² + 4² = (4+y)²
16-8y+y²+16=16+8y+y²
16y=16
y=1

Obwód
L = (6,5)+(2,5+1,6)+(4+1)+(1,6+1)=18,2 [dm]