Question

Dwa jednakowe zwierciadła kuliste wklęsłe o ogniskowych równych 0,5 m ustawiono naprzeciwko siebie w odległości 0,6 m tak , że ich osie główne pokrywają się . W jakiej odległości od jednego zwierciadła trzeba ustawić przedmiot, aby stosunek powiększeń obrazów pozornych otrzymanych w obu zwierciadłach wynosił 1/2

Answer 1

Rzeczywiście równanie, którego należy użyć to:
1/x + 1/y = 1/f
Pewnie dlatego, że jest to jedyne równanie z tego tematu, którego uczą w szkole:)

Dane.
Niech x1 będzie odległością przedmiotu od jednego zwierciadła a x2 od drugiego. Czyli:
x1 + x2 = 0,6m
Stosunek powiększeń równy 1/2 to:
p1/p2 = 1/2
gdzie p1 = y1 / x1 a p2 = y2 / x2
i f = 0,5m

Stąd:
(y1/x1) / (y2/x2) = 1/2
(y1*x2) / (y2*x1) = 1/2
2*x2*y1 = x1*y2

Z równania zwierciadła mamy:
1/x + 1/y = 1/f
x+y / x*y = 1/f
f*(x+y) = x*y
f*x + f*y = x*y
f*x = x*y - f*y
f*x = y*(x-f)
y = (f*x) / (x-f)
Dotyczy to obu zwierciadeł, więc
y1 = (f*x1) / (x1-f)
y2 = (f*x2) / (x2-f)

Wracamy do 2*x2*y1 = x1*y2
i podstawiamy:
(2*x1*x2*f) / (x1-f) = (x1*x2*f) / (x2-f)
Skracamy x1*x2*f i mamy:
2 / (x1-f) = 1 / (x2-f)
Mnożymy na skos:
2*x2 - 2*f = x1 - f
x1 = 2*x2 - f

Z równania x1 + x2 = 0,6m otrzymujemy:
3*x2 - f = 0,6m
f = 0,5m, czyli
3*x2 = 0,6m + 0,5m
3*x2 = 1,1m
x2 = 1,1 / 3 m = 23,(3) cm
x1 = 36,(6) cm

Inaczej mówiąc przedmiot należy ustawić 6,(6) cm od środka pomiędzy zwierciadłami.