Question

Pole czworokąta wypukłego jest róne 3, a przekątne tego czworokąta mają długości 6 i 2. Oblicz miarę kąta, pod jakim przecinają się przekątne.

Nie chodzi tu o podstawienie do gotowego wzoru (P= 1/2*d1*d2*sinalfa) ale o wyprowadzenie tego wzoru.

Z góry dziękuję ;)

Answer 1

Wyprowadzimy wzór na pole dowolnego czworokąta wypukłego, jednak wcześniej wzór na pole dowolnego trójkąta (patrz załącznik)

PΔ = ½·a·h

sinα = h : c ⇒ h = c·sinα

Zatem PΔ = ½·a·c·sinα

Podobnie można wyprowadzić wzory dla pozostałych kątów w trójkącie, czyli pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch dowolnych jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.

Wracamy do wzoru na pole czworokąta (patrz załącznik)

P - pole czworokąta

e, f - długość przekątnych czworokąta

α - kąt pod jakim przecinają się przekątne

e = a + c

f = b + d

Przekątne e i f dzielą czworokąt na cztery trójąty, zatem

P = P₁ + P₂ + P₃ + P₄

Ze wzory na pole trókąta mamy:

P₁ = ½·a·b·sin(180° - α) = ½·a·b·sinα

P₂ = ½·b·c·sinα

P₃ = ½·c·d·sin(180° - α) = ½·c·d·sinα

P₄ = ½·a·d·sinα

Stad:

P = ½·a·b·sinα + ½·b·c·sinα + ½·c·d·sinα + ½·a·d·sinα = ½·sinα·(a·b + b·c + c·d + a·d) = ½·sinα·[b·(a + c) + d·(c + a)] = ½·sinα·[(a + c)·(b + d)] = ½·sinα·e·f

Zatem:

P = ½·e·f·sinα

gdzie e, f to przekątne, a α to kąt zawarty między przekątnymi

 

P = 3

e = 6

f = 2

α - miara kąta pod jakim przecinają się przekątne e i f

3 = ½·6·2·sinα

3 = 6·sinα /:6

sinα = ³/₆

sinα = ½

α = 30°

 

Odp. Miara kąta, pod jakim przecinają się przekątne wynosi 30°.