Question

Zbadaj, który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym:
a) an= n-1/4
b) bn= n²
c) cn=2 do potegi n
d) dn=2/n


2Między liczby 3 i 16/27 wstaw trzy liczby, tak aby otrzymać ciąg geometryczny a pomiędzy liczby 5 i 11 wstaw trzy liczby, tak aby otrzymac ciąg arytmetyczny.


bardzo prosze

Answer 1

Zbadaj, który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym:
a) an= n-1/4
b) bn= n²
c) cn=2 do potegi n
d) dn=2/n
Rozwiązanie:
Ciąg jest geometryczny jeżeli różnica q=an+1/an jest stałe - niezalezne od n
an=n-¼
an+1=n+1 -¼=n+¾
q=an+1/an=(n-¼)/(n+¾)=(4n-1)/(4n+3) - q zależne od n
odp. ciąg an nie jest geometryczny

bn=n²
bn+1=(n+1)²
q=bn+1/bn=(n+1)²/n²=(n²+2n+1)/n² - q zależne od n
odp. ciąg bn nie jest geometryczny

cn=2 do potegi n
cn+1=2 do potegi n+1
q=(2 do potegi n+1)/(2 do potegi n)=(2 do potegi n x 2 ) / (2 do potegi n)=2 - q nie jest zalezne od n
odp. ciąg cn jest ciągiem geometrycznym

dn=2/n
dn+1=2/(n+1)
q=(2/n+1) / 2/n = n/(n+1) - q zależne od n
odp. ciąg dn nie jest ciągiem geometrycznym

2Między liczby 3 i 16/27 wstaw trzy liczby, tak aby otrzymać ciąg geometryczny
Rozwiązanie:
Iloraz (q) ciągu geometrycznegho otrzymujemy dzieląc dowolny wyraz ciągu przez wyraz poprzedni.
a₁= 3 a₂=3q a₃= 3q² a₄=3q³ a₅=16/27
q=a₅/a₄=16/27 x 3q³ / q³
q⁴= 16/81 po wyciągnieciu pierwiastka czawrtego stopnia z 16/81 mamy
q=2/3
a₂=3q=3 x 2/3 = 2 a₃= 3q²= 3 x (2/3)² = 4/3 a₄=3q³= 3 x(2/3)³=8/9
odp. wyrazy ciągu geometrycznego to: 3, 2, 4/3, 8/9, 16/27

a pomiędzy liczby 5 i 11 wstaw trzy liczby, tak aby otrzymac ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie:
an=a₁+ (n-1)r
a₁=5 a₅=11
a₅=a₁+ (5-1)r
11=5+4r
r=6/4
r=1½
a₂=a₁+ r =5+1½=6½
a₃=a₂+ r = 6½ + 1½ = 8
a₄=a₃+ r - 8 + 1½ = 9½
odp. wyrazy ciągu arytmetycznego to: 5, 6½, 8, 9½, 11