Question

1. Dany jest ciąg arytmetyczny : -9 , -4 , 1 , 6 ... Oblicz 20 wyrazów tego ciągu .
2. Oblicz sumę 15 początkowych liczb naturalnych parzystych .
3. W ciągu arytmetycznym dane są : a2 =4 , a5=13 . Oblicz a1 i r
4. Dla jakiej wartości ,,a" liczby 1 , 2a+2 ; a+6 tworzą ciąg arytmetyczny
5. Oblicz sumę dziewięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego , w którym a2=128 , q=-1/2
7. Dany jest ciąg geometryczny , w którym wyraz pierwszy jest równy 18 , a suma dwóch początkowych wyrazów ciągu wynosi 24 . Jaki jest iloraz tego ciągu ?
8. Kwotę 10.000zł wpłacono do banku na okres 3 lat , przy kapitulacji odsetek co kwartał i oprocentowaniu rocznym 5% . Jaką kwotę odbierzemy z banku ?

Answer 1

1)   -9, -4, 1, 6, ...                      S₂₀ = ?

      a₁ = -9,    r = -4 - (-9) = -4 +9 = 5

      a₂₀ = a₁ + 19r = -9 + 19 · 5 = -9 + 95 = 86

            a₁ + a₂₀

  S₂₀ = -----------  · 20 = (-9 +86) · 10 = 77 · 10 = 770

               2                              

 

2)  a₁ = 2,  r = 2,   a₁₅ = a₁ + 14r = 2 + 14· 2 = 2 + 28 = 30

               a₁ + a₁₅                       2 + 30

   S₁₅ = -------------  · 15 =  --------------  · 15 = 16 · 15 = 240

                 2                                  2

 

3)   a₂ = 4,    a₅ = 13,        a₁ , r = ?

 

       a₂ = a₁ + r       ⇒       a₁ + r = 4        /·(-1)

       a₅ = a₁ + 4r     ⇒       a₁ + 4r = 13

 

                      /      -a₁ -r = -4

                     /        a₁ + 4r = 13

                         -------------------

                                   3r = 9       /:3

                                     r = 3                          a₁ + 3 = 4

                                                                        a₁ = 1

4)  (1,  2a+2,  a+6 )    -  ciag arytmetyczny,              a = ?

    Korzystajac z wlasnoasci ciagu arytmetycznego mamy:

                 1 + a + 6

  2a+2 = --------------          /·2

                      2 

 

4a + 4 = a + 7

3a = 3        ⇒    a = 1

 

5)  a₂ = 128,    q = -½                  S₉ = ?

           a₂

  a₁ = ------ = 128 : ( -½) = 128 · (-2) = -256

           q

                1 - q⁹                         1 - ( -½)⁹                     1 - ( - ¹/₅₁₂)

S₉ = a₁ · -----------  = -256 · ------------ = -256 · -------------- = -256 · 1¹/₅₁₂ · ⅔ = 

                1 - q                          1 - (- ½)                      1 + ½

 

   =  - 256 · ⁵¹³/₅₁₂ ·⅔   = - 171

 

7)   a₁ = 18,     S₂ = 24,        q = ?

        a₁ + a₂ = 24

        18 + a₂ = 24        ⇒    a₂ = 24 - 18 = 6

a₂ = a₁· q

           q = a₂ : a₁ = 6 : 18 = ⅓

 

8)  K = 10000zl      (kwota wplacona)

      n = 3                ( ilosc lat)

     m = 4                (ilosc okresow kapitalizacji w roku)

     p = 5 /%/          (roczna stopa procentowa)

                       p/m

Kn = K ( 1 +  --------) ^(n·m)

                       100

                               5/4                                           1,25 

K₃ = 10000 ( 1 + ---------- )¹² = 10000 ( 1 +  -------- )¹²   = 10000 (1 + 0,0125)¹² =

                               100                                         100

 

     = 10000 · (1,0125)¹²  ≈ 10000 · 1,157625 ≈ 11576 /zl/

Odp.  Po 3 latach odbierzemy z banku kwote  11576 zl.

Answer 2

-9,-4,1,6,11,16,21,26,31,36,41,46,51,56,61,66,71,76,81,86,91,96,101,106

 

a1=2 r=2  an=a1+(n-1)xr  a15=2+14x2=30

Sn=(a1+a15)xn:2   S15=(2+30)x15:2=240

 

a2=4 a3=a2+r   a4=a2+2r   a5=a2+3r  stąd  13=4+3r  czyli r=3 to a1=a2-3 =4-3=1

 

2a+2-1=a+6-(2a+2)

2a+1=a+6-2a-2

2a+2a-a=6-2-1

3a=3

a=1

 

5.

a2=128 q=-1/2

a2=a1xq   

a1=128:(-1/2)=-256

Sn=a1x(1-q^n):(1-q)

S9=-256x(1-(-1/2)^9):(1+1/2)=513

 

7.

a1+a1xq=S2

18+18q=24

18q=24-18

q=1/3

 

8.   5%:4=1,25%=125/10000

K=10000(1+125/10000)^12=10125(10125/10000)^11