Question

26. W trapezie prostokątnym krótsza podstawa ma taką samą długość jak dłuższe ramię równe 15cm. Jaka wysokość ma ten trapez jeżeli jego dłuższa podstawa stanowi 180% krótszej?

29. W trapezie prostokatnym ramię równe 10cm jest nachylone do podstawy pod kątem 30stopni. Jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole i obwód tego czworokąta.

30. Stosunek długości boków równoległoboków wynosi 4:5, a jego kat rozwarty ma ramię 150 stopni. Polowa obwodu równoległoboku jest równa 27cm. Oblicz pole tego czworokąta.

31. Oblicz obwód rombu, którego kąt ostry ma 60stopni, a krótsza przekątna jest równa 8cm.

Answer 1

26)
Dane:
b= 15 cm --------->krótsza podstawa
a= 180%*b= 180*15:100=27 cm------> dłuższa podstawa
Szukane: h
-------------------------------------
Wysokość opuszczona z punktu C ( trapez ABCD) na dolną podstawę podzieli ją na dwa ocinki 15 cm i 12 cm. Wysokość utworzy trójkąt BCE o bokach 15 cm ( dłuższy bok podany) i 12 cm. W tym trójkącie bok 15 cm jest przekątną. Z tw, Pitagorasa obliczymy wysokość h
c^2=h^2 + x^2 (^2---->oznacza do kwadratu)
h^2=c^2 -x^2
h^2= 15^2 -12^2
h^2= 225 -144
h^2=81
h=9
Wysokość wynosi 9 cm

zad.31
Dane:
e=8 cm-------------->krótsza przekątna
kąt alfa(ostry) równa się 60 stopni
Szukane:
f=? --------->dłuższa przekątna)
P=?
obw=?
--------------------------------------------
W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym, dzielą się na połowy i dzielą kąty na połowy. Po przecięciu przekątnych powstają 4 trójkąty prostokątne.
Mamy romb ABCD. Po przecięciu się przekątnych powstaną 4 trókąty:
AOB,BOC,COD,DOA (O jest punktem przecięcia się przekątnych)

Z trójkąta AOB mamy dane:
bok 0B=4 cm -------->połowa przekątnej
kąt 30 stopni---------> jak wyżej
obliczymy bok AB
sin30=0B/AB
AB= OB/sin 30
AB= 4:1/2
AB= 8 cm

Z tw. Pitagorasa obliczymy bok AO

AB^2 = OB^2 + OA^2
OA^2= AB^2- 0B^2
OA^2= 8^2 -4^2
OA^2 = 64-16
OA^2=50
OA=7,1 cm ------------>połowa dłuśzej przekątnej. to cała przekątna jest równa 14,2 cm

Obliczamy pole;
P= e*f/2
P= 8 *14,2=113,6 cm2
(Uwaga:^2------->oznacza do kwadratu)
Bok AB czyli bok rombu wynosi 8 cm
Obwód rombu:
4*8=32 cm

Answer 2

26. W trapezie prostokątnym krótsza podstawa ma taką samą długość jak dłuższe ramię równe 15cm. Jaka wysokość ma ten trapez jeżeli jego dłuższa podstawa stanowi 180% krótszej?
a - dłuższa podstawa trapezu
b - krótsza podstaw trapezu i dłuższe ramię
h - wysokość trapezu (krótsze ramię)
x - część dłuższej podstawy = a - b

b = 15 cm
a = 180% * 15 = 1,8 * 15 = 27 cm
x = 27 - 15 = 12 cm

z tw. Pitagorasa
b² = x² + h²
15² = 12² + h²
225 = 144 + h²
h² = 225 - 144
h² = 81
h = √81
h = 9 cm
Odp. Wysokość trapezu wynosi 9 cm.


29. W trapezie prostokątnym ramię równe 10cm jest nachylone do podstawy pod kątem 30stopni. Jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole i obwód tego czworokąta.
a - dłuższa podstawa trapezu
b - krótsza podstaw trapezu
c - dłuższe ramię trapezu
h - wysokość trapezu (krótsze ramię)
x - część dłuższej podstawy = a - b
O - obwód trapezu
P - pole trapezu

c = 10 cm
a = 2b
x = a - b = 2b - b = b
sin 30° = h : c
½ = h : 10 ( z proporcji)
2h = 10 /:2
h = 5 cm
z tw. Pitagorasa
c² = h² + x²
10² = 5² + x²
100 = 25 + x²
x² = 100 - 25
x² = 75
x = √75
x = √25*3
x = 5√3 cm
x = b
b = 5√3 cm
a = 2b
a = 2*5√3 = 10√3 cm
O = a + b + c + h
O = 10√3 + 5√3 + 10 + 5 = 15√3 + 15 = 15*(√3 + 1) cm
P = ½ (a + b)*h
P = ½ *(10√3 + 5√3)*5 = 2,5*15√3 = 37,5*√3 cm²
Odp. Obwód trapezu wynosi 15*(√3 + 1) cm, a jego pole 37,5*√3 cm²

30. Stosunek długości boków równoległoboków wynosi 4:5, a jego kat rozwarty ma ramię 150 stopni. Polowa obwodu równoległoboku równa 27cm. Oblicz pole tego czworokąta.
a, b - długość boków równoległoboku
h - wysokość równoległoboku
O - obwód równoległoboku
P - pole równoległoboku

O = 2(a +b)
½O = 27 cm
½*2(a + b) = 27
a + b = 27
a = 27 - b
a : b = 4 : 5 ( z proporcji)
5a = 4b
5*(27 - b) = 4b
135 - 5b = 4b
-5b - 4b = -135
-9b = -135 /:(-9)
b = 15 cm
a = 27 - b
a = 27 - 15 = 12 cm
Jeśli kąt rozwarty ma 150° to kąt ostry: 180° - 150° = 30°
sin30° = h/a
½ = h : 12 /*12
h = ½*12
h = 6 cm
P = b*h
P = 15*6 = 90 cm²
Odp. Pole równoległoboku wynosi 90cm².

31. Oblicz obwód rombu, którego kąt ostry ma 60°, a krótsza przekątna jest równa 8cm.
a - długość boku rombu
d₁ - krótsza przekątna rombu
d₂ - dłuższa przekątna rombu
O - obwód rombu

Przekątna rombu dzieli kąt wewnętrzny na połowę. Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowę.
Jeśli kąt ostry ma 60° to dłuższa przekątna dzieli go na dwa kąty po 30°. Mamy więc, trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych: ½d₁, ½d₂ i przeciwprostokątnej: a
d₁ = 8 cm
½d₁ = 4
sin30° = ½d₁ : a
½ = 4 : a ( z proporcji)
a = 2*4
a = 8 cm
O = 4a
O = 4*8 = 32 cm
Odp. Obwód rombu wynosi 32 cm.