Question

zad.10/ 212 < matematyka wokół nas>. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego przedstawionego na rysunku.

rys. załączniku..

za poprawne rozwiązanie daje naj. ;)

Answer 1

a)

 

|OA|=

|OA|=

|OS|=

 

Pp=

 

Pc=

Answer 2

A) Długość |AO| jest połową przekątnej kwadratu ( a√2 ) 

    d = 24√2

    |AO| = 24√2 ÷ 2 = 12√2

 

Odcinek |OS| oznaczymy jako H ostrosłupa

 cos45' = |AO| / H

 √2/2 = 12√2 / H

 H = 24 cm

 

Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy jeszcze wysokość ściany bocznej, którą oznaczymy jako h

 

Obliczymy ją z Twierdzenia pitagorasa przyrównując połowę odcinka |AB|, H oraz h

 

A więc  (1/2|AB|)² + H² = h²

            144 + 576 = h²

             h = √720 = 12√5 cm

 

Pole całkowite ostrosłupa = a² + 2ah

  Pc = 24² + 2 × 24 × 12√5 = 576 + 48√5 cm ²

 

 

b)  Odcinek |AE| to wysokość trójkąta równobocznego ( a√3 / 2 )

Dłuższy odcinek tej wysokości oznaczmy jako R, które wyraża się wzorem a√3 / 3, gdyż jest to 2/3 tejże wysokości

Krótkszy odcinek tej wysokosći oznaczymy jako r, które wyraża się wzorem a√3 / 6, gdyż jest to 1/3 tejże wysokości

Obliczamy długość podstawy

 

a√3 / 2 = 6 cm    / × 2

a√3 = 12cm / ÷ √3

a = 12/√3 × √3 / √3

a = 4√3 cm

 

 

Obliczamy r ( odcinek |OD|, gdyż odcinek |AE| oraz |BD| posiadają równe wymiary )

 

Skoro cała wysokość trójkąta wynosi 6cm, to r jako 1/3 tego odcinka jest równa 2cm

 

Ocinek "OS" oznaczymy jako H ostrosłupa, które obliczymy z cosinusa 60'

 

cos60' = x(r) / H

1/2 = 2 / H

 

H = 4 cm

 

Obliczamy wysokość ściany bocznej |DS| -> h

Stosujemy twierdzenie pitagorasa

x² + H² = h²

2² + 6² = h²

h = 2√10 cm

 

Pc = a²√3 / 4 + 3 a × h / 2

Pc = (4√3)²√3 + 3 × 4√3 × 2√10 / 2

Pc = 48√3 + 12√30 cm ² = 12√3 ( 4 + √10 ) cm²