Question

Dany jest wielomian W( x)=2x³ +nx² +mx+8. Wyznacz liczby m i n, jeśli wiadomo, że reszta
z dzielenia wielomianu W przez dwumian ( x+2) jest równa 4 i jednym z pierwiastków jest
liczba (-1) . Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki.

Próba matura matematyka rozszerzona 2012/2013 zadanie nr 2 :)

Proszę o dokładnie rozwiązanie.

Answer 1

W(x) = 2 x^3 + n x^2 + m x + 8

R(x) = 4    oraz   W( - 1) = 0

zatem

R(x) = W( - 2) = 2*(-2)^3 + n*( -2)^2 + m*(-2) + 8 =

= 2*(-8) + 4 n - 2 m + 8 = 4 n - 2 m - 8

więc

4 n - 2 m - 8 = 4

---------------------

W( -1) = 2*(-1)^3 + n*(-1)^2 + m*(-1) + 8 =

= - 2 + n - m + 8 = n - m + 6

więc

n - m + 6 = 0

------------------

Rozwiązuję układ równań:

4 n - 2 m - 8 = 4

n - m + 6 = 0  =>  n = m - 6

----------------------

4*(m - 6)  - 2 m = 12

4 m - 24 - 2 m = 12

2 m = 36 / : 2

m = 18

======

n = m - 6 = 18 - 6 = 12

======================

Odp.  m = 18 ,  n = 12

=====================================

Wstawiam za m  i n  :

W(x) = 2 x^3 + 12 x^2 + 18 x + 8 

Liczba  ( - 1)  jest pierwiastkiem W  zatem W  dzieli się przez  x + 1

Wykonuję to dzielenie :

 

( 2 x^3 + 12 x^2 + 18 x + 8   ) : ( x + 1) = 2 x^2 + 10 x + 8

- 2 x^3 - 2 x^2

--------------------------------

.......... 10 x^2 + 18 x

........ - 10 x^2 - 10 x

--------------------------------

....................  8 x + 8

................... - 8 x - 8

---------------------------------

.........................   0

 

Rozwiązuję równanie :

2 x^2 + 10 x +  8 = 0

delta = 10^2 - 4*2*8 = 100 - 64 = 36

p( delty) = 6

x = [ - 10 - 6]/4 = - 16/4 = - 4   lub  x = [ - 10 + 6]/4 = - 4/4 = - 1

Rzeczywiście, wielomian ma dwa różne pierwiastki: x1 = - 1 ( podwójny ) i  x2 = - 4

=======================================================================