Question

Proszę o pomoc w zadaniach, dokładne wyjaśnienie

Zad 1

wyznacz najmniejszą wartość sumy kwadratów dwoch liczb x,y jeśli spełniają one warunek: a) x+y=6 b) 3x +y= 1

zad 2 Zbiorem wartości trójmianu kwadratowego jest przedział ( od minus nieskonczoność do 8 > , a pierwiastkami są liczby -3 i 5. Wyznacz wspolrzedne wierzcholka paraboli bedacej wykresem tego trojmianu i zapisz trojmian w postaci kanonicznej.

zad 3 Wierzchołek paraboli będącej wykresem trojmianu kwadratowego znajduje się w punkcie W( 2,-9), a jeden z pierwiastków tego trójmianu jest równy 5. Oblicz drugi pierwiastek i podaj zbiór wartości tego trójmianu

. Zad4 Funkcja f( x) = x do kwadratu +bx+c jest malejąca w przedziale od minus nieskończoność do 4> a rosnąca w przedziale od <4 do plus nieskonczoność ). wierzchołek paraboli która jest wykresem funkcji f należy do prostej y= 1/2 x -1. Wyznacz zbiór wartości funkcji f.

Answer 1

z.1

a)

x + y = 6   =>   y = 6 - x

więc

s = x^2 + y^2 = x^2 + ( 6 - x)^2 = x^2 + 36 - 12 x + x^2 =2 x^2 -1 2 x + 36

Mamy

s(x) = 2 x^2 - 12 x + 36

a = 2 > 0   - ramiona paraboli skierowane są ku górze czyli funkcja przyjmuje najmniejszą

wartośc dla x = p = - b/ (2a) = 12/ 4 = 3

Wtedy  y = 6 - 3 = 3

s = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18

Odp.  s = 18

============

b)

3x + y = 1  => y = 1 - 3 x

więc

s = x^2 + y^2 = x^2 + ( 1 - 3 x)^2  = x^2 + 1 - 6 x + 9 x^2 = 10 x^2 - 6 x + 1

Mamy

s(x) = 10 x^2 - 6 x + 1

a = 10 > 0  - ramiona paraboli skierowane są ku górze czyli funkcja przyjmuje najmniejszą

wartość  dla  x = p = 6/20 = 3/10

Wtedy  y = 1 - 3* ( 3/10) = 1 -  9/10 = 1/10

s = (3/10)^2 + (1/10)^2 = 9/100 + 1/100 = 10/100 = 1/10

Odp. s = 1/10

============

z.2

ZW = ( - oo;  8 >    więc   q = 8    i    a < 0

x1 = - 3 ,  x2 = 5

zatem

p = ( x1 + x2) / 2 = ( - 3 + 5)/ 2 = 2/2 = 1

czyli   wierzchołek

W = ( p; q ) = ( 1; 8 )

================

y = a *( x - p)^2 + q

czyli

y = a*( x - 1)^2 + 8

ale  x1 = - 3  jest  miejscem  zerowym funkcji , więc

dla x1 = - 3  jest y = 0

czyli

a*( - 3 - 1)^2 + 8 = 0

a*( - 4)^2 + 8 = 0

16 a = - 8  / : 16

a = - 0,5

-----------

Odp.  y = - 0,5 *( x - 1)^2 + 8   - postać  kanoniczna

============================================

z.3

W = ( 2; - 9)

x1 = 5

Mamy

p = 2   i   q  = - 9

zatem

p = ( x1 + x2)/ 2

2 = ( 5 + x2) / 2     ; mnożymy obustronnie przez 2

4 = 5 + x2

x2 = 4 - 5 = - 1

===========

Ponieważ  q = - 9 < 0   i  trójmian ma dwa miejsca zerowe zatem ramiona paraboli

muszą byc skierowane ku górze , więc

ZW = < q ; + oo ) = < - 9 ; + oo )

===========================

z.4

f(x) = x^2 + b x + c  maleje  w   ( - oo; 4 >  , zatem   p = 4  i   a > 0 -  bo ramiona paraboli

skierowane są ku górze

W = ( p ; q ) należy do prostej o równaniu  y = 0,5 x - 1 , więc

q = 0,5 *p - 1 = 0,5*4  - 1 = 2 - 1 = 1

W = ( 4; 1)   i    a  > 0

dlatego zbiór wartości

ZW =  < q ;  + oo )  = <  1 ;  + oo )

=========================