Question

1. Wyznacz dziedzine funkcji f :

a) f( x)= pod pierwiastkiem : x2-2x-3

b) f(x)= pod pierwiastkiem: -3x2-5x+2

c) f(x)= 1 podzielić przez dalej kreska ulamkowa i pod pierwiastkiem: 2x2-15x +7

Zad 2

wyznacz wartości parametru m dla których wartość najwieksza funkcji f(x)= -x2+ (3m-4)x-4 jest liczbą ujemną.

Answer 1

z.1

a)  f(x) = p ( x^2 - 2 x - 3)

Liczba pod pierwiastkiem musi być  > = 0

więc

x^2 - 2 x - 3 > = 0

delta = ( -2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

p( delty) = p(16) = 4

x1 = ( 2 - 4)/ 2 = - 1 

x2 = ( 2 + 4) / 2 = 3

a = 1 > 0  - ramiona paraboli są skierowane ku górze , więc

x^2 -2 x - 3 > = 0  <=> x należy do ( - oo; - 1 >  u  < 3 ; + oo )

Df = ( - oo; - 1 >  u < 3;  + oo )

========================

b)

f(x) = p ( -3 x^2 - 5 x + 2 )

Liczba pod pierwiastkiem musi być > = 0

więc

- 3 x^2 - 5 x + 2 > = 0

delta = ( -5)^2 - 4*(-3)*2 = 25 + 24 = 49

p ( delty) = p (49) = 7

x1 = ( - b + p( delty))? (2a) = ( 5 + 7) / ( -6) =  12 / ( - 6) =  - 2

x2 = ( - b -  p(delty))/ (2a) = ( 5 -  7)/ ( - 6) = - 2 / ( - 6) = 1/3

a = - 3 < 0   - ramiona paraboli są skierowane do dołu, więc

- 3 x^2 - 5 x + 2 > = 0 <=> x należy do  < - 2 ;   1/3  >

Odp.

Df = < - 2;  1/ 3 >

==================

c)

Liczba pod pierwiastkiem musi być > 0  , bo nie mozna dzielic przez 0

czyli

2 x^2 - 15 x + 7 > 0

delta = ( -15)^2 - 4*2*7 = 225 - 56 =  169

p ( delty) = p (169 ) = 13

x1 = ( 15 - 13) / 4 = 2 /4 = 1/2

x2 = ( 15 + 13) / 4 = 28 / 4 = 7

a = 2 > 0  - ramiona paraboli są skierowane ku górze , więc

2 x^2 - 15 x + 7 > 0    <=> x  należy do  ( - oo ;  1/2  )  u ( 7;  + oo )

Odp. Df = ( - oo;  1/ 2)   u  (  7 ; + oo )

=============================

z.2

f(x) = - x^2 + ( 3m - 4) x - 4

 

a = - 1  < 0  - ramiona paraboli  skierowane są ku dołowi , więc funkcja posiada

wartość największą q

 

delta = ( 3m - 4)^2 - 4*(-1)*( -4) = 9 m^2 - 24 m + 16 - 16 = 9 m^2 - 24 m

q = - delta / ( 4a) = ( 9 m^2 - 24 m ) / ( - 4) = - 2,25 m^2 + 6

q  ma byc  < 0  czyli   - 2,25 m^2 + 6 < 0  / * ( - 4)

9 m^2 - 24 > 0

9 m^2 > 24

m^2 > 24/9

m <  - p( 24/9)  lub   m > p( 24/ 9)

m < - p ( 8/3)    lub   m >  p( 8 / 3)

=============================

p ( 8/3)  - pierwiastek kwdratowy z   8/3