Question

1. Sprawdź podaną tożsamość: (1+sinx)(1/cosx-tgx)= cosx.

2. W kwadrat wpisano koło, a następnie w to koło wpisano znów kwadrat. Różnica pól kwadratów wynosi 8 cm2. Oblicz pole koła.

3. Wyznacz liczbę, której 14% stanowi 105

4. Cena lodówki została obniżona o 7% i lodówka kosztuje obecnie 930 zł. Jaka była cena lodówki przed obniżką?

5. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy:

a) cosx= -5/13 i xE(;3/2)

b) ctgx=2 i xE(;3/2) (tylko zaraz po otwarciu nawiasów i przed zamknięciem jest taki jakby chiński znaczek którego nie umiem dodać (chyba Pi czy coś takiego )

Proszę pomóżcie mi bo bardzo tego potrzebuję....

Answer 1

Zad. 1
Sprawdź podaną tożsamość
1-cos α / sin α - sin α / 1+cos α = 0

L = (1 -cosx)/sinx - sinx?( 1 +cos x)
wspólny mianownik = sin x*( 1 + cos x)
L = [( 1 - cos x)*( 1 + cos x) - sinx *sinx ] : [ sinx*(1 + cosx)]
L = [ 1 - cos²x - sin²x ] : [ sinx*(1 + cosx)]
L = [ 1 -( cos²x + sin²x)] : [ sinx*(1 + cosx)]
Korzystam teraz z jedynki trygonometrycznej sin²x + cos²x = 1
L = [ 1 -1] : [sinx*(1 + cosx)]
L = 0 : [sinx*(1 + cosx)]
L = 0
P = 0

L = P

Zad. 2 Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego o mierze a(alfa), jeżeli
a) cos α = 8/17
Korzystam z jedynki trygonometrycznej sin²x + cos²x = 1
sin²x = 1 - cos²x
sin²x = 1 - (8/17)²
sin²x = 1 -64/289
sin²x = 225/289
sin x = √(225/289)
sin x = 15/17

tg x = sin x : cos x
tg x = (15/17) : ( 8/17)
tg x = (15/17)* (17/8)
tg x = 15/8
tg x = 1,875

ctg x = cos x : sin x
ctg x = (8/17): (15/17)
ctg x = (8/17)*(17/15)
ctg x = 8/15

B) ctg α = 3

tg x = 1 : ctg x
tg x = 1 : 3
tg x = 1/3

tg x = sin x : cos x = 1/3
sin²x + cos²x = 1

sin x = 1/3*cos x
(1/3*cos x)² + cos²x = 1

sin x = 1/3*cos x
1/9*cos²x + cos²x = 1
10/9*cos²x = 1
cos ²x = 1 : (10/9)
cos²x = 1*(9/10)
cos²x = 9/10
cosx = √(9/10)
cos x = √9 : √10
cos x = 3 : √10
cos x = (3 :√10)*(√10:√10) usuwam niewymierność mianownika
cos x = 3*√10 : 10
cos x = (3/10)*√10

sin x = 1/3*cosx
sin x = (1/3)*(3/10)*√10
sin x = (1/10)*√10

Zad. 3
Rozwiąż równanie
x⁵ + 7x⁴-10x³-70x²+9x+63=0
x⁴(x +7) - 10x²(x +7) + 9(x + 7) = 0

(x +7) (x⁴-10x² + 9) = 0
x + 7 = 0 lub (x⁴-10x² + 9) = 0
x = -7 lub
(x⁴-10x² + 9) = 0
wprowadzam dodatkowa niewiadomą
t = x²
t² - 10t +9 = 0
Δ = (-10)² -4*1*9 = 100 - 36 = 64
√Δ = √64 = 8
t1 = [-(-10) -8] : 2*1 = (10 -8):2 = 2 : 2 = 1
t2 = [-(-10) +8] : 2*1 = (10 +8):2 = 18 : 2 = 9

x² = 1 lub x² = 9
x² -1 = 0 lub x² -9 = 0
(x-1)(x+1) = 0 lub (x -3) (x +3) = 0
x =1, x= -1, x = 3, x = -3

Odp. x = -7, x = 1, x = -1, x = 3, x = -3

Zad.4
Rozwiąż nierówność
x⁴ + 4x³ - 9x²- 16x + 20 > 0

Doprowadzam wielomian do postaci iloczynowej
sprawdzam podzielność wielomianu przez podzielniki wyrazu wolnego
W(1) = 1⁴+ 4*1³ -9*1² -16*1 +20 = 1 + 4 -9 -16 +20 = 25 -25 = 0
wielomian dzieli sie bez reszty przez (x -1),tzn x = 1 jest pierwiastkiem wielomianu

(x⁴ + 4x³ - 9x²- 16x + 20 ) : ( x -1) = x³ + 5x² -4x -20
-x⁴ + x³
-----------
= 5x³ - 9x² -16x +20
-5x³ +5x²
----------
= -4x² -16x +20
4x² - 4x
-----------
= -20x +20
20x -20
---------
= =
1)Pierwszym pierwiastkiem jest x = 1
teraz sprawdzam wielomian x³ + 5x² -4x -20
W(-2) = (-2)³ + 5*(-2)² - 4*(-2) -20 = -8 +20 + 8 -20 = 28 -29 = 0
W(-2) = 0
Pierwistkiem wielomianu jest x = -2, tzn. wielomian dzieli się bez reszty przez ( x +2)

(x³ + 5x² -4x -20) : ( x +2) = x² + 3x -10
-x³ -2x²
-----------
= 3x² - 4x -20
-3x² - 6x
----------
= -10x -20
10x +20
----------
= =

2) drugim pierwiastkiem jest x = -2

x² + 3x -10 = 0
Δ = 3² - 4*1*(-10) = 9 +40 = 49
√Δ = √ 49 = 7
x1 = (-3 -7) : 2*1 = (-10): 2= -5
x2 = (-3 +7) : 2*1 = 4 : 2 = 2

3) trzecim pierwiaskiem jest x = -5
4) czwartym pierwiastkiem jest x = 2

Pierwiastkami wielomianu są 4 liczby :
x = 1, x = -2, x = -5, x = 2
Porzadkuję pierwistki na osi Ox : -5, -2, 1, 2
Rysuje krzywą rozpoczynając od strony prawej od góry i przechodzącą przez pierwiastki
Zaznaczam przedziały, dla których nierówność jest wiekszaod zera
x⁴ + 4x³ - 9x²- 16x + 20 > 0
(x -1)( x+2)( x+5)(x -2) > 0

Odp. x ∈ ( -∞, -5)∨ ( -2, 1) ∨(2, +∞)

Mam nadzieję, że pomogłam :)