Question

Oblicz:
a) cos(60st + α) mając dane sinα = - 12/13 i 180st < α < 270st
b) sin(α + 45st) mając dane cosα = - 1/2 i 90st< α < 180st

Answer 1

A) cos(60st + α) mając dane sinα = - 12/13 i 180st < α < 270st

Obliczam cos α
cos²α + sin²α = 1
cos²α = 1- sin²α
cos² α = 1- (-12/13)²
cos²α = 1 - 144/169
cos²α = 169/169 - 144/169
cos²α = 25/169
cos α = √ (25/169) = -5/13 ( bo α ∈ <180°, 270°> tj w III cwiartce cos jest ujemny)

Korzystam ze wzoru:
cos(x+y) = cosx *cosy - sinx*siny
cos(60° +α ) = cos 60°*cosα - sin60° *sinα =
cos(60° +α ) = ½*(-5/13) - ½√3*(-12/13) =
cos(60° +α ) = -1/26 ( -5 - 12√3)

b) sin(α + 45st) mając dane cosα = - 1/2 i 90st< α < 180st
Obliczam sinα
sin ²α + cos²α = 1
sin²α = 1- cos²α
sin²α = 1-(-½)²
sin²α = 1-¼
sin²α = ¾
sin α = √¾ = + ½√3 ( bo α∈< 90°, 180°) tj II cw,. a w II cw. sin jest dodatni)
sin α = ½√3

Korzystam ze wzoru
sin( x + y ) =sinx *cosy + cosx*siny
sin(α + 45°) = sin α *cos45° + cos α* sin 45°
sin(α + 45°) = ½√3*½√2 + (-½)*½√2
sin(α + 45°) =¼√6 -¼√2
sin(α + 45°) =¼√2(√3 -1)