Stosując twierdzenie o indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równoś.... Question from @Dassa

December 2018 1 30 Report

Stosując twierdzenie o indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość:
1. 1^ + 2^ + ... n^= n(n+1)(2n+1)/6

^- do kwadratu

2.1 do 3 + 2 do3 + 3do3+...+ndo3=[ n(n+1)/2- ] calosc do kwadratu

harjus $Zad1
\\1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 
\\-sprawdzamy \; czy \; rownanie \; jest \; prawdziwe \; dla \; n=1
\\1^2= \frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} 
\\1= \frac{1*2*3}{6} 
\\1=1
\\L=P
\\-zakladamy, \; ze\; rownanie \; jest \; prawdziwe \; dla \; liczby \; k \geq 1
\\1^2+2^2+...+k^2= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}
\\-udowadniamy, \; ze \; rownanie \; jest \; prawdziwe \; dla \;k+1 \; korzystajac \;
\\z \; zalozenia$
$\\1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2= \frac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6} 
\\P= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} 
\\L=1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +(k+1)^2=
\\= \frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6} =
\\= \frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2+4k+3k+6)}{6} =
\\= \frac{(k+1)[2k(k+2)+3(k+2)]}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} =P$

$Zad2 \\1^3+2^3+...+n^3= \Big(\frac{n(n+1)}{2} \Big)^2
\\-sprawdzamy \; czy \; rownanie \; jest \; prawdziwe \; dla \; n=1 
\\1^3= \Big(\frac{1(1+1)}{2}\Big)^2 
\\1=( \frac{2}{2})^3 
\\1=1 
\\L=P 
\\-zakladamy, \; ze \;rownanie \; jest \; prawdziwe \; dla \; liczby \; k \geq 1 
\\1^3+2^3+...+k^3= \Big(\frac{k(k+1)}{2} \Big)^2
\\-udowadniamy, \; ze \; rownanie \; jest \; prawdziwe \; dla \;k+1 \; korzystajac \; 
\\z \; zalozenia$
$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3= \Big( \frac{(k+1)(k+1+1)}{2} \Big)^2
\\P=\Big( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \Big)^2
\\L=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3= \Big( \frac{k(k+1)}{2}\Big)^2 +(k+1)^3=
\\= \frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} =
\\=\Big( \frac{(k+1)(k+2)}{2}\Big)^2=P$

3 votes Thanks 2