RESPUESTA:
1- Inicialmente debemos saber que un gradiente no es mas que un vector donde las derivadas parciales representan cada coordenada, se tiene que:
∇ f(x,y) = ∂f/∂x (i) + ∂f/∂y (j)
Teniendo a f(x,y) = Cos(xy) + Sen(xy), procedemos a calcular las derivadas parciales:
→ ∂f/∂x = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y
→ ∂f/∂y = -Sen(xy)·x + Cos(xy)·x
Ahora evaluamos cada derivada parcial en el punto P(1,π/2), tenemos:
→ ∂f/∂x = -Sen(1·π/2)·π/2 + Cos(1·π/2)·π/2 = -π/2
→ ∂f/∂y = -Sen(1·π/2)·1 + Cos(1·π/2)·1 = -1
Por tanto el gradiente será el vector:
→ ∇ f(x,y) = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y (i) - Sen(xy)·x + Cos(xy)·x (j)
→ ∇ f(1,π/2) = -π/2 (i) -1 (j)
2- La matriz Hessiana tiene la siguiente forma:
Donde:
f'xx = segunda derivada respecto a la variable x
f'yy = segunda derivada respecto a la variable y
f'xy = derivada de f'x respecto a la variable y
f'yx = derivada de f'y respecto a la variable x
Con el calculo del gradiente logramos obtener f'x y f'y, entonces:
→ ∂f/∂x = f'x = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y
→ ∂f/∂y = f'y = -Sen(xy)·x + Cos(xy)·x
Procedemos a calcular las derivadas restantes.
→ f'xx = -Cos(xy)·y² - Sen(xy)·y²
→ f'yy = -Cos(xy)·x² - Sen(xy)·x²
→ f'yx = -Cos(xy)·y·x -Sen(xy) -Sen(xy)·y·x + Cos(xy)
→ f'xy = -Cos(xy)·y·x -Sen(xy) -Sen(xy)·y·x + Cos(xy)
Procedemos a evaluar las derivadas en el punto P(1,π/2)
→ f'xx = -Cos(1·π/2)·(π/2)² - Sen(1·π/2)·(π/2)² = -(π/2)²
→ f'yy = -Cos(1·π/2)·(1)² - Sen(1·π/2)·(1)² = -1
→ f'yx = -Cos(1·π/2)·π/2·1 -Sen(1·π/2) -Sen(1·π/2)·π/2·1 + Cos(1·π/2) = -1 - π/2
→ f'xy = -Cos(1·π/2)·π/2·1 -Sen(1·π/2) -Sen(1·π/2)·π/2·1 + Cos(1·π/2) = -1 - π/2
Sustituimos los valores y obtenemos la matriz Hessiana.
Nota: Es importante mencionar que se utilizaron diferentes nomenclaturas de derivadas parciales para darlas a conocer y que se tenga conocimiento de como manejar todas las nomenclaturas.
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RESPUESTA:
1- Inicialmente debemos saber que un gradiente no es mas que un vector donde las derivadas parciales representan cada coordenada, se tiene que:
∇ f(x,y) = ∂f/∂x (i) + ∂f/∂y (j)
Teniendo a f(x,y) = Cos(xy) + Sen(xy), procedemos a calcular las derivadas parciales:
→ ∂f/∂x = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y
→ ∂f/∂y = -Sen(xy)·x + Cos(xy)·x
Ahora evaluamos cada derivada parcial en el punto P(1,π/2), tenemos:
→ ∂f/∂x = -Sen(1·π/2)·π/2 + Cos(1·π/2)·π/2 = -π/2
→ ∂f/∂y = -Sen(1·π/2)·1 + Cos(1·π/2)·1 = -1
Por tanto el gradiente será el vector:
→ ∇ f(x,y) = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y (i) - Sen(xy)·x + Cos(xy)·x (j)
→ ∇ f(1,π/2) = -π/2 (i) -1 (j)
2- La matriz Hessiana tiene la siguiente forma:
Donde:
f'xx = segunda derivada respecto a la variable x
f'yy = segunda derivada respecto a la variable y
f'xy = derivada de f'x respecto a la variable y
f'yx = derivada de f'y respecto a la variable x
Con el calculo del gradiente logramos obtener f'x y f'y, entonces:
→ ∂f/∂x = f'x = -Sen(xy)·y + Cos(xy)·y
→ ∂f/∂y = f'y = -Sen(xy)·x + Cos(xy)·x
Procedemos a calcular las derivadas restantes.
→ f'xx = -Cos(xy)·y² - Sen(xy)·y²
→ f'yy = -Cos(xy)·x² - Sen(xy)·x²
→ f'yx = -Cos(xy)·y·x -Sen(xy) -Sen(xy)·y·x + Cos(xy)
→ f'xy = -Cos(xy)·y·x -Sen(xy) -Sen(xy)·y·x + Cos(xy)
Procedemos a evaluar las derivadas en el punto P(1,π/2)
→ f'xx = -Cos(1·π/2)·(π/2)² - Sen(1·π/2)·(π/2)² = -(π/2)²
→ f'yy = -Cos(1·π/2)·(1)² - Sen(1·π/2)·(1)² = -1
→ f'yx = -Cos(1·π/2)·π/2·1 -Sen(1·π/2) -Sen(1·π/2)·π/2·1 + Cos(1·π/2) = -1 - π/2
→ f'xy = -Cos(1·π/2)·π/2·1 -Sen(1·π/2) -Sen(1·π/2)·π/2·1 + Cos(1·π/2) = -1 - π/2
Sustituimos los valores y obtenemos la matriz Hessiana.
Nota: Es importante mencionar que se utilizaron diferentes nomenclaturas de derivadas parciales para darlas a conocer y que se tenga conocimiento de como manejar todas las nomenclaturas.