Question

Prosze o rozwiązanie tego zadania... ROZWIĄŻ RÓWNANIE I NIERÓWNOŚC LOGARYTMICZNĄ a) log2 (y+2) + log2 (y-2) = 5 b) log1/2 (2x -5) > -4

Answer 1

a)

log₂ (y + 2) + log₂ (y - 2) = 5

Wyznaczamy dziedzinę - logarytmować możemy tylko liczby dodatnie, stąd

y + 2 > 0 i y - 2 > 0

y > - 2 i y > 2

Dziedzina to część wspólna przedziałów (patrz załącznik)

D = (2; +∞)

log₂ (y + 2) + log₂ (y - 2) = 5

Korzystamy z własności: loga (x · y) = loga x + loga y

log₂ (y + 2)(y - 2) = 5

Korzystamy z definicji logarytmu: loga b = x jeżeli a^x = b

2⁵ = (y + 2)(y - 2)

y² - 4 = 32

y² = 32 + 4

y² = 36

y₁ = √36 = 6 ∈ D lub y₂ = -√36 = - 6 ∉ D

 

Odp. y = 6

 

b)

Wyznaczamy dziedzinę

2x - 5 > 0

2x > 5 /:2

x > 2,5

D = (2,5; +∞)

Korzystamy z własności: loga a^k = k

Podstawy logarytmu są jednakowe i mniejsze od 1, więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i dlatego odwracamy znak nierówności.

x ∈ (-∞; 10,5)

Zaznaczmy na osi wyznaczoną dziedzinę i zbiór rozwiązań nierówności (patrz załącznik). Rozwiązanie to część wspólna tych zbiorów.

Zatem x ∈ (2,5; 10,5)

 

Odp. x ∈ (2,5; 10,5)