Question

1. Rozwiąż równanie .

-5+8+21+...+x=1899

2. Wykaż że jeśli w ciągu geometrycznym a₁=1/√2 - 1 i a₂=√2 +1 to jest to ciąg stały .

3. Dany jest ciąg an określony wzorem an={ n²-1 dla n parzystych , an={ 5n+4 dla n nieparzystych . Oblicz a₄₇ i a₁₀₀ .

Answer 1

1.

-5+8+21+...+x=1899

z lewej strony mamy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a₁= -5 i różnicy r=13

Mamy sumę n-tu wyrazów tego ciągu

S_n=1899

wzór na S_n= [2a₁+(n-1)r]/2 * n - powinien być znany

podstawmy

[2*(-5)+(n-1)*13]*n/2 = 1899   |*2

[-10+(n-1)*13]*n = 3798

(-10+13n-13)n = 3798

(13n-23)n = 3798

13n²-23n-3798=0

rozwiążmy równanie kwadratowe

Δ=(-23)²-4*13*(-3798)

Δ=529+197496

Δ=198025

√Δ = 445

n₁= (23-445)/2*13 = -422/26 - nie spełnia warunków, bo n musi być liczbą naturalną

n₂ =(23+445)/2*13 =468/26 = 18

czyli nasz x jest 18stym elementem tego ciągu.

Wystarczy obliczyć a₁₈   a_n=a₁+(n-1)r

a₁₈ = -5+(18-1)*13

a₁₈ = -5+17*13

a₁₈ = -5+221

a₁₈ = 216

czyli x=216

2.

a₁=1/√2 - 1  i a₂=√2   +1

Domyślam się, że zapis  wyrazu 1szego a₁ powinien wyglądać tak:  a₁=1/(√2-1) - -1 też w mianowniku, a nie po ułamku 1/√2

 

ciąg geometryczny jest ciągiem stałym gdy pierwszy wyraz jest dodatni a jego iloraz q jest równy 1 lub ew. 0. Zero widzimy, że nie jest, bo wtedy a₂ byłoby równe 0

zauważmy, że a₁ jest >0, bo 1 podzielone przez liczbę dodatnią, a √2-1 jest >0 jest zawsze liczbą dodatnią

wykażmy, że q=1

w ciągu geometrycznym  , czyli q=a₂/a₁

q= (√2+1) /  (1/(√2-1)) = (√2+1) * (√2-1)/1 = (√2+1)*(√2-1)= (√2)²-1²= 2-1=1 czyli to co chcialiśmy udowodnić

 

3.

wystarczy podstawić do wzoru

a₄₇ - 47 jest nieparzyste, więc

a₄₇ = 5*47+4 = 235+4 = 239

 

a₁₀₀ - 100 jest liczbą parzystą, więc

a₁₀₀ = 100²-1 = 10000-1 = 9999