Question

ZADANIA Z DZIAŁU "ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ"

1zad.

Odcinek o końcach A(-1,-3),B(5,3) jest średnicą okręgu o środku w punkcie S i promieniu r. Okręg ten przecina ujemną półoś OX w punkcie C.

a) Wyznacz współrzędne punktu S i promień r.

b) podaj współrzędnepunktu C

Zad 2

Oblicz obwód trójkąta ABC oraz długość wysokości poprowadzonej na bok AB, jeśli A(-5,2), B(-1,-2), C(-1,4).

Zad 3

Punkty : A(-1,-2), B(4,-7), C(5,0) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołka D i wykaż, że równoległobok ABCD jest rombem.

Answer 1

z.1

a)

A = ( -1 ; -3) ,  B = ( 5; 3 )

zatem

xs = ( -1 + 5)/2 = 2

ys = (-3 + 3)/2 = 0

S = ( 2 ; 0 )

=============

I BS I = r

zatem

r^2 = I BS I^2 = (2 - 5)^2 + ( 0 - 3)^2 = (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18

czyli   r = p(18) = p(9*2) = 3 p(2)

r = 3 p(2)

==========

b)

Równanie tego okręgu:

( x - 2)^2 + ( y - 0)^2 = 18

lub

( x - 2)^2 + y^2 = 18

-------------------------

Okrąg przecina ujemną półoś OX w  punkcie  C

zatem y = 0

Po podstawieniu mamy

(x -2)^2 + 0 = 18

(x -2)^2 = 18

x - 2 = - p(18) = - 3 p(2)

x = 2 - 3 p(2)

C = ( 2 - 3 p(2); 0)

===================

z.2

A = ( -5; 2), B = ( -1 ; -2),  C = ( -1 ; 4)

zatem

I AB I^2 = ( -1 - (-5))^2 + ( -2 - 2)^2 = 4^2 + (-4)^2 = 16 + 16 = 16*2

więć

I AB I = 4 p(2)

===============

I AC I^2 = (-1 - (-5))^2 + ( 4 - 2)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 = 4*5

więc

I AC I = 2 p(5)

=============

I BC I ^2 = (- 1 -(-1))^2 + ( 4 - (-2))^2 = 0^2 + 6^2 = 36

więc

I BC I = 6

=========

Obwód trójkąta ABC

L = 4 p(2) + 2 p(5) + 6

===========================

Prosta AB

y = a x + b

2 = - 5a + b

-2 = - a + b

--------------------  odejmujemy stronami

2 - (-2) = - 5a - (-a)

4 = - 4a

a = - 1

======

b = a - 2 = -1 - 2 = - 3

=======================

pr. AB ma równanie

y = - x - 3

========================

Przez wierzchołek C = ( - 1 ; 4) prowadzę prostą prostopadłą do pr AB

-1 *a1 = - 1

a1 = 1

y = x + b1

Podstawiam  (-1) za  x oraz  4  za y:

4 = - 1 + b1

b1 = 5

======

y =  x + 5

===============

Szukam punktu przecięcia się prostych:

y = -x - 3

y = x + 5

-----------------

- x - 3 = x + 5

2 x = - 8

x = - 4

======

y = - 4 + 5 = 1

==================

zatem

D = ( -4 ; 1)

=============

Szukana wysokość

h = I CD I

zatem

h^2 = I CD I^2 = ( -4  - (-1))^2 + (1 - 4)^2 = (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18

h = p(18) = 3 p(2)

====================

 

 z.3

A = (-1 ; -2),  B = (4; - 7), C = (5; 0)

 

Niech  D = (x; y)

zatem mamy

-->
AB = [ 4 - (-1); - 7 - (-2)] = [ 5 ; - 5 ]

-->

DC = [ 5 - x;   0 - y ]

Ponieważ ABCD jest równoległobokiem zatem te wektory są równe, a więc mamy

5 - x = 5

0 - y = - 5

-----------------

x = 0

y = 5

=====

D = ( 0;  5)

===========

I AB I^2 = ( 4 - (-1)^2 + (- 7 - (-2))^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 25*2

zatem

I AB I = I CD I = 5 p(2)

======================

oraz

I BC I^2 = ( 5 - 4)^2 + (0 - (-7))^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50 = 25*2

zatem

I BC I = I AD I = 5 p(2)

Mamy zatem

I AB I = I BC I = I CD I = I AD I = 5 p(2)

czyli równoległobok ABCD jest rombem.

=============================================