Question

1.Znajdz wartosc maxymalna i minimalna funkcji

w przedziale domknietym [0,1]

2. Znajdz wartosc maxymalna i minimalna funkcji

w przedziale domknietym [0,1]

Answer 1

1. D=R⁺

f(x)=2√x-4x²

f'(x)=2*1/(2√x)-4*2x

f'(x)=1/√x-8x

1/√x-8x>0

√x/x-8x>0

√x/x-8x²/x>0

(√x-8x²)/x>0

niech √x=t, t≥0

(t-8t⁴)/t²>0

(t-8t⁴)*t²>0

(1-8t³)*t³>0

(1-2t)(1+2t+4t²)t³>0

m.z. t=1/2 i t=0

t<0 - nie spełnia warunku t≥0

t∈(0;1/2)

0<t<1/2

t>0 i t<1/2

√x>0 i √x<1/2

x∈R⁺ i x<1/4

x∈(0;1/4)

dla x∈(0;1/4) - pochodna wprzymuje wartości dodatnie, czyli funkcja jest rosnąca w tym przedziale

dla t>1/2

√x>1/2

x>1/4

dla x>1/4 - pochodna wprzymuje wartości ujemne, czyli funkcja jest malejąca w tym przedziale

f(x)=2√x-4x²

f(1/4)=2√1/4-4(1/4)²=2*1/2-4*1/16=1-1/4=3/4

funkcja ma maksimum w punkcie (1/4;3/4) należy on do przedziału <0;1>, czyli największa watość w tym przydziale to 3/4

funkcja nie ma minimum więc najmniejsza wartość będzie w krańcach przedziału

f(0)=2√0-4*0²=0

f(1)=2√1-4*1²=2-4=-2

-2<0

funkcja w przedziale <0;1> ma wartość minimalną równą -2.

 

2. D=R⁺

f(x)=1/2√x-x²

f'(x)=(1/2)/2√x-2x

f'(x)=1/4√x-2x

1/4√x-2x>0

1/4√x>2x

1/16x>4x²

1/16x-4x²>0

1/16x-64x³/16x>0

(1-64x³)/16x>0

(1-64x³)*16x>0

(1-4x)(1+4x+16x²)16x>0

m.z. x=1/4 i x=0

x∈R⁺

dla x∈(0;1/4) pochodna wprzymuje wartości dodatnie, czyli funkcja jest rosnąca w tym przedziale

dla x>1/4 pochodna wprzymuje wartości ujemne, czyli funkcja jest malejąca w tym przedziale

w x=1/4 funkcja ma maksimum

f(1/4)=1/2*√1/4-(1/4)²=1/2*1/2-1/16=1/4-1/16=4/16-1/16=3/16

funkcja przymuje wartość maksymalną równą 3/16

funkcja nie ma minimum więc najmniejsza wartość będzie w krańcach przedziału <0;1>

f(0)=1/2√0-0²=0

f(1)=1/2√1-1²=1/2-1=-1/2

-1/2<0

funkcja w przedziale <0;1> ma wartość minimalną równą -1/2.