Question

1.Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

a)f(x)=x^2-x-12

b)f(x)=-2x^2-3x-7

c)f(x)=x^2-x

d)f(x)=x^2-25

2.Zapisz wzór funkcji w postaci iloczynowej.

a)y=3x^2-27

b)y=2(x-3)^2-8

c)y=x^2-2x-6

3.Napisz wzór funkcji kwadratowej f o której wiesz ze:

a)jej miejscami zerowymi są -3 i 2 i f(0)=-2

b)wierzchołek paraboli bedacej wykresem funkcji ma wspóółrzędne w=(-2,3) i jedno z miejsc zerowych jest równe 3.

Answer 1

1.

a)

0=x²-x-12

0=(x-4)(x+3)

x=4 v x=-3

b)

0=-2x²-3x-7

0=2x²+3x+7

Δ=9-56<0 brak miejsc zerowych

c)

0=x²-x

0=x(x-1)

x=0 v x=1

d)

0=x²-25

0=(x-5)(x+5)

x=5 v x=-5

2.

a)

y=3x²-27

y=3(x²-9)

y=3(x-3)(x+3)

b)

y=2(x²-6x+9)-8

y=2x²-12x+18-8

y=2x²-12x+10

y=2(x²-6x+5)

y=2(x-5)(x-1)

c)

y=x²-2x-6

Δ=4+24=28

x1=1-√7

x2=1+√7

y=(x-1-√7)(x-1+√7)

3. 

a) Ogólny wzór funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c

Wiemy, że

0=a(-3)²-3b+c

0=a(2)²+2b+c

-2=c

Podstawiamy c=-2 do 1 i 2 równania

0=9a-3b-2

0=4a+2b-2

 

0=18a-6b-4

0=12a+6b-6

Dodajemy stronami

0=30a-10

30a=10

a=1/3

0=3-3b-2

3b=1

b=1/3

f(x)=x²/3+x/3-2

b)

-b/2a=-2

b=4a

 

-Δ/4a=3

4ac-b²/4a=3

 

Δ≥0

f(3)=0

0=9a+3b+c

Wiadomo, ze b=4a

0=9a+12a+c

c=-21a

Wiadomo, że 4ac-b²/4a=3

[4a(-21a)-(4a)²]/4a=3

-84a²-16a²=12a

0=100a²+12a

0=a²+3a/25

0=a(a+3/25)

Dla funkcji kwadratowej a nie równa się 0, więc a=-3/25

b=-12/25

c=63/25

f(x)=-3x²/25-12x/25+63/25

f(x)=-1/25(3x²+12x-63)

 

 

Answer 2

1.

a)

f(x)=x²-x-12

Δ=1+48=49

√Δ=7

x1=1-7 /2 = -6/2=-3

x2=1+7 /2 = 8/2=4

 

b)

f(x)=-2x²-3x-7

Δ=9-4*(-2)*(-7) =9-56=-47

Δ< 0 , brak miejsc zerowych

 

c)

f(x)=x²-x

       x²-x=0

       x(x-1)=0

       x=0  U    x=1

d)

f(x)=x²-25

       x²-25 = 0

       x²=25

        x=±5

 

2)

postac iloczynowa:

Δ>0 -  y=a(x-x1)(x-x2)

Δ=0  -  y =a(x-x0)²

 

a)

y=3x²-27

   3x²-27=0

    3x²=27

      x²=9

       x=±3

wiec:

  y=3(x-3)(x+3)  

 

b)

y=2(x-3)²-8   = 2(x²-6x+9)-8 = 2x²-12x+18-8 = 2x²-12x+10

Δ=144-80=64

√Δ=8

x1=12-8  / 4 = 4/4=1

x2=12+8  /4 =20/4=5

więc:

  y=2(x-1)(x-5)

 

c)

y=x²-2x-6

Δ=4+24=28

√Δ=√28=2√7

x1=2-2√7/2 = 2(1-√7)/2 = 1-√7

x2=1+√7

więc:

y=(x-1-√7)(x-1+√7)

 

3)

a)

x1=-3

x2=2

f(0)=-2

 

y=a(x+3)(x-2)

-2=a(0+3)(0-2)

-2=a*3*(-2)

-2=-6a

-6a=-2

a=1/3

wiEc:

y=1/3(x+3)(x-2)  = postac iloczynowa 

y=1/3(x²-2x+3x-6)=1/3(x²+x-6)=1/3x²+1/3x-2    = postac ogólna

 

b)

p=-2

q=3

f(3)=0

postac kanoniczna:

y=a(x-p)²+q

y=a(x+2)²+3

0=a(3+2)²+3

0=a(5²)+3

0=25a+3

-25a=3

a=-3/25

więc:

y=-3/25(x+2)²+3  = postac kanoniczna