Question

1.Wykaż, że różnica między kwadratem dowolnej liczby naturalnej n-większej bądź równej 1 i tą liczbą jest liczba parzysta.

2.Udowodnij że jeśli liczby a,b,c są nieparzyste to liczba ab+bc+ac przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3.

Answer 1

1.

n ∈ N; n ≥ 1

n² - n = n · (n - 1)

n · (n - 1) jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, zatem jedna z nich jest parzysta a druga nieparzysta, czyli jedna ma postać 2k, a druga 2k - 1 lub 2k + 1, stąd:

2k · (2k - 1) = 4k - 2k = 2 · (2k - k) iloczyn ten jest podzielny przez 2, zatem jest to liczba parzysta

2k · (2k + 1) = 4k + 2k = 2 · (2k + k) iloczyn ten jest podzielny przez 2, zatem jest to liczba parzysta

 

2.

a, b, c - liczby nieparzyste, zatem mają postać

a = 2k + 1

b = 2m + 1

c = 2n + 1

 

ab + bc + ac = (2k + 1)(2m + 1) + (2m + 1)(2n + 1) + (2k + 1)(2n + 1) = 4km + 2k + 2m + 1 + 4mn + 2m + 2n + 1 + 4kn + 2k + 2n + 1 = 4km + 4kn + 4mn + 4k +  4m + 4n + 3 =

4 · (km + kn + mn + k +  m + n) + 3

Zatem możemy zapisać:

ab + bc + ac = 4 · (km + kn + mn + k +  m + n) + 3

Na podstawie tw. o dzieleniu z resztą stwierdzamy, że liczba (ab + bc + ac) daje resztę 3 przy dzieleniu przez 4.

 

---------------------

Tw. o dzieleniu z resztą

Dla dowolnej liczby całkowitej a i dowolnej liczby naturalnej b istnieje tylko jedna para liczb całkowitych k i r taka, że a = b · k + r, gdzie 0 ≤ r < b

Liczba k to iloraz z dzielenia liczby a przez liczbę b, a liczba r to resztą tego dzielenia. Możemy powiedzieć, że liczba a daje resztę r przy dzieleniu przez liczbę b.