Question

1.W trojkacie ABC mamy dane IABI 30cm , IACI=IBCI 17cm. Oblicz

a) Pole tego trójkąta

b)promień okręgu wpisanego

c) promień okręgu opisanego

2.Najdłuższy bok trojkąta ABC ma 8cm długości ,a miary jego kątów są w stosunku 2:1:1. Oblicz:

a) Pole trojkąta

b) pole koła wpisanego w trojkąt

3. Pole trójkąta równobocznego jest równe 12cm. Zatem bok tego trójkąta jest równy

Answer 1

zad 1

|AB|=30 cm - podstawa trójkąta

|AC|=|BC|=17 cm - ramiona trójkąta

-----------------------------------------------------

1. Pole trójkąta:

-- wysokość trójkąta (h):

Połowa długości podstawy, wysokość oraz ramię trójkąta tworzą trójkąt prostokątny w którym:

|AB|/2 i h - przyprostokątne;

|AC| (lub |BC|) - przeciwprostokątna.

Z twierdzenia Pitagorasa:

|AC|²=(|AB|/2)²+h²

h²=|AC|²-(|AB|/2)²

h²=17²-(30/2)²

h²=17²-15²

h²=289-225

h²=64

h=8 cm

-- pole trójkąta:

P=|AB|*h/2

P=30*8/2

P=30*4

P=120 cm²

-----------------------------------------------------

2. Promień okręgu wpisanego:

r=P/p,

gdzie:

P - pole trójkąta

p=[a+b+c]/2  [połowa sumy długości boków]

-- obliczam małe p:

p=[|AB|+|AC|+|BC|]/2

p=[30+17+17]/2

p=64/2

p=32 cm

-- długość promienia okręgu wpisanego:

r=P/p

r=120/32

r=3,75 cm

-----------------------------------------------------

3. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie:

R=abc/4P

R=[30*17*17]/[120*4]

R=8670/480

R=18,0625 cm

==========================================

zad 2

1. Miary kątów:

Miary kątów można przedstawić stosunkiem: 2:1:1 - 2α:α:α

Suma miar kątów w trójkącie to 180°, zatem:

2α+α+α=180°

4α=180°

α=45°

Miary kątów to 90°, 45°, 45°. W zadaniu mowa o trójkącie prostokątnym równoramiennym.

-----------------------------------------------------

2. Długości ramion (przyprostokątnych):

a=b - przyprostokątne

c=8cm - przeciwprostokątna

-- z twierdzenia Pitagorasa:

2a²=c²

2a²=8²

2a²=64

a²=32

a=√32

a=4√2 cm

-----------------------------------------------------

3. Pole trójkąta:

P=a*b/2

P=a²/2

P=(4√2)²/2

P=16*2/2

P=16 cm²

-----------------------------------------------------

3. Promień okręgu wpisdanego w trójkąt:

r=P/p

p=[2a+c]/2

p=[8√2+8]/2

p=[8(√2+1)]/2

p=4(√2+1) cm

 

r=16/[4(√2+1)]

r=4/[√2+1]

r=4(√2-1)/(2-1)

r=4(√2-1) cm

-----------------------------------------------------

4. Pole koła wpisanego:

Pk=πr²

Pk=π*[4(√2-1)]²

Pk=π*[4²(√2-1)²]

Pk=16(2-2√2+1)π

Pk=16(3-2√2)π cm²

==========================================

zad 3

P=12 cm²

Pole trójkąta równobocznego można wyliczyć ze wzoru (wzór z tablic):

P=a²√3/4

gdzie a - długość boku trójkąta

12=a²√3/4      |*4

48=a²√3         |:√3

48/√3=a²

a²=48√3/3

a²=16√3

a=4 ⁴√3 cm

[Pierwiastek czwartego stopnia z 3]