Question

1.Trapez prostokątny o podstawach 4cm i 10cm i kącie ostrym 30⁰ obraca się wokół krótszej podstawy.Oblicz pole powierzchni otrzymanej bryły.

wytumaczenie+rysunek

2.W rombie ABCD dane są A=(-3;-1) i punkt przecięcia się przekątnych M=(9;3)Wiadomo,że punkt B leży na prostej 2x-y-25=0.Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

wytłumaczenie i rysunek

Answer 1

Witaj :)

 

 

 

RYSUNEK 1: http://fooh.pl/obrazek/1474195465.png

 

Z rysunku widać, że po obrocie trapezu względem jego krótszej podstawy powstanie walec o wysokości równej dłuższej podstawie trapezu z wycięciem w kształcie stożka o wysokości równej wysokości trójkąta. Aby obliczyć jego  pole powierzchni musimy posiadać promień okręgu, znajdującego się w podstawie walca. Zwróć uwagę, że promień równa się wysokości trójkąta o podstawie równej  10 cm - 4 cm = 6cm. Jego wysokość obliczymy łatwo z własności trygonometrycznych:

 

 

 

 

 

 

 

 

RYSUNEK 2: http://fooh.pl/obrazek/1919105879.png

 

 

Wiemy, że punkt przecięcia przekątnych dzieli każda z przekątnych na pół. Zatem punkt naprzeciwlegly punktowi A - czyli C - będzie odległy od punktu M też o 2 pierwiastki z 37. Aby obliczyć współrzędne punktu C, musimy do współrzędnych punktu M dodać odpowiednio do x i y tyle, ile rożnią się one od punktu A. Skoro y w punkcie M jest -3, a w punkcie A jest 1, to razem różnią się o 4 jednostki. Zatem by obliczyć współrzędną y punktu C, poprostu dodajemy do współrzędnej y punktu M 4. To samo robimy ze współrzędną x.

 

 

 

Mamy już współrzędne punktu C. Teraz szukamy współrzędne punktów B i D. Wiemy, że punkt B leży na prostej 2x-y-25 = 0

 

Przekształćmy to równanie do normalnej postaci prostej:

 

 

 

 

Na początku wyznaczmy równanie prostej przez które przechodzą następujące punkty:

A, M i C. Jak to zrobić? Bardzo łatwo. Wystarczy podstawić współrzędne dwóch dowolnych z tych punktów do równania normalnego prostej: y=ax+b i obliczyć z układu równań niewiadome a i b. Ja przedstawię na przykładzie punktów A i M:

 

 

 

 

Prosta, która obejmuje punkty B i D jest prostopadła do prostej, którą teraz wyznaczyliśmy. Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy a, równy odwrotności pierwszej prostej czyli:

 

 

 

Bo wcześniejsze a wyszło nam  

 

Czyli druga prosta (przechodząca przez B i D) ma już równanie:

 

y = -3x+b

 

Jak wyliczyć b? Wiemy, że ta prosta przechodzi przez punkt M. Podstawmy więc do równanie jej współrzedne i obliczmy b:

 

 

 

 

Wiemy teraz, że punkt B przechodzi przez dwie proste: y=2x-25 oraz y = -3x+30. Aby obliczyć współrzędne punktu B, musimy rozwiązać układ równań tych prostych, gdzie niewiadomymi są x i y (współrzędne B):

 

 

 

 

Wiemy, że punkt D jest tak samo oddalony od punktu M jak punkt B. (tak jak robiliśmy z punktem C). Skoro x punktu M = 9, a punktu B x=11, to znaczy, że są w stosunku siebie oddalone o dwie jednostki. Zatem od współrzędnej x punktu M musimy dwie jednostki odjąć, by wyszła współrzędna D. Zatem wspolrzedne D:

 

 

 

Podsumowując współrzędne punktów rombu wynoszą:

 

 

 

 

Przepraszam za początkowe omyłki, źle odczytałam współrzędne w zadaniu :D

 

Pozdrawiam!

----------------------------- 

 

Answer 2

Zadanie 1 

Aby ugryzc zadanie musimy sobie zdac sprawe jak bedzie wygladala powstala bryla. Bedzie to walec z wycieciem w ksztalcie stozka od gory. Jego pole powierzchni beda tworzyly: (wszstkie oznaczenia odnosza sie do rysunku w zalaczniku - na czerwono oznaczylem dany trapez, na zielono-wysokosc trapezu, a na zolto - os obrotu)

1. Podstawa walca, czyli kolo o promieniu |CD| 

2. Powierzchnia boczna walca, o promieniu |CD| i wysokosci  |AD|

3. Powierzchnia boczna stozka, o promieniu podstawy |FA|=|CD| i wysokosci |FB|=|AE|.

|AD|=10 cm

|BC|=4 cm

|BE|=|AE|*tg(30°)=(|AD|-|BC|) *tg(30°)=6*(√3/3)=2√3.

|AB|=|AE|/(cos(30°))=6/(√3/2)=12/(√3)=(12√3)/3=4√3.

 

Pole powierzchni otrzymanej bryly:

P=Pp+Pw+Ps

gdzie

Pp=π*|BE|^2 - pole podstawy

 Pw = 2*π*|BE|*|AD| - pole powierzchni walcowej

Ps =π*|BE|*|AB| - pole powierzchni stozkowej. 

P=π*(2√3)^2+2*π*(2√3)*10+π*(2√3)*4√3=π*(12+40√3+24)=π(36+40√3)=4π(9+10√3)

 

Zadanie 2 

 

 

Na rysunku romb oznaczony jest na czerwono, a jego przekatne - na zielono.

Punkt przeciecia przekatnych oznaczylem przez E.

 

Jeżeli znamy wspolrzedne jednego z wierzcholkow i punkt przeciecia przekatnych to mozemy wyprowadzic rownanie prostej w ktorej zawarta jest ta przekatna.

  

Wzor na roznanie prostej przechodzacej przez 2 punkty A(x1,y1) i E(x2 i y2)

 

y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)

 

gdzie

x1=-3

y1=-1 

x2=9

y2=3

 

y-(-1)=(3-(-1))/(9-(-3))*(x-(-3))

y+1=4/12*(x+3)

y+1=1/3x+1

y=x/3

 

Przeciwlegly wierzcholek C rombu bedzie lezal prostej y=x/3 po drugiej stronie punktu E w tej samej odleglosci co punkt C tzn. 12 jednostek w osi X i 4 jednostki w osi Y. Bedzie mial zatem wspolrzedne C (21,7).

 

Aby odnalezc punkt B, musimy wyznaczyc rownanie drugiej przekatnej rombu, a nastepnie znalezc punkt przeciecia tej drugiej przekatnej z dana prosta 2x-y-25=0.

Po przeksztalceniu do postaci y=ax+b mamy

-y=-2x+25

y=2x-25 

 

Poniewaz druga przekatna jest prostopadla do pierwszej to jej wspolczynnik kierunkowy bedzie rowny a2=-1/(a1), gdzie a1 - wsp. kier. pierwszej przekatnej, a2-wsp. kier. drugiej przekatnej.

 

a2=-1/(a1)=-1/(1/3)=-3

 

Teraz skorzystamy ze wzoru na prosta o znanym wspolczynniku kierunkowym przechodzacej przez jeden dany punkt E(9,3)

 

y-yE=a*(x-xE)

y-3=-3*(x-9)

y-3=-3x+27

y=-3x+30

 

Teraz aby znalezc punkt B, rozwiazemy uklad rownan opisujacych druga przekatna i dana w zadaniu prosta. Rozwiazanie tego ukladu rownan bedzie wspolrzednymi punktu B.

 

{y=-3x+30

{y=2x-25

 

2x-25=-3x+30

5x=55

x=11

 

y=2x-25=2*11-25=22-25=-3

 

Punkt B ma wspolrzedne B(11,-3)

 

Punkt D jest polozony na drugiej przekatnej w takiej samej odleglosci od punktu E jak punkt B ale po jego przeciwnej stronie.

 

Bedzie zatem mial wspolrzedne D(7,9).

 

Odpowiedz: wspolrzedna wierzcholkow rombu to: A(-3,-1), B(11,-3), C(21,7) i D(7,9).  

 

 Mam nadzieje ze pomoglem. Pozdrawiam.