Question

1.Rozwiąż równanie:

a) ||x+1|+5|=7

b) |5-|x||=5

2. Rozwiąż nierówność:

a) ||x|-1|< 3

b) ||x|+2|≥ 4

c) ||x-2|-3|< 3

Tylko proszę o stopniowe rozwiązywanie, bo chcę coś z tego zrozumieć a nie mieć odrobione... Dziękuje:)

Answer 1

Najważniejsza jest definicja wartości bezwzględnej:

|x| jest liczbą x, jeśli nie jest ujemne lub -x, jeśli jest ujemne, a więc np.

|4| = 4, |0| = 0, |-3| = -(-3) = 3

------------------------------------------------------------------------------------------

1.

a) ||x+1|+5|=7

Zewnętrzne znaki | możemy opuścić, ponieważ |x+1| zawsze jest nieujemne, a razem z liczbą 5 jest tym bardziej nieujemne.

|x + 1| + 5 = 7

|x + 1| = 2

Rozpatrujemy 2 przypadki:

1°  x+1 ≥ 0

2°  x+1 < 0

Dla 1°, czyli x ≥ -1 mamy:

x + 1 = 2

x = 1

Rozwiązanie spełnia warunek: x ≥ -1

Spr. ||1 + 1| + 5| = ||2| + 5| = |2 + 5| = 7

Dla 2°, czyli x < -1 mamy:

-(x + 1) = 2

x + 1 = -2

x = -3

Rozwiązanie spełnia warunek: x < -1

Spr. ||-3 + 1| + 5| = ||-2| + 5| = |2 + 5| = 7

Odp. x = 1 lub x = -3, co można zapisać: x ∈ {-3; 1}

 

b) |5-|x||=5

1°

5 - |x| ≥ 0, czyli |x| ≤ 5, czyli -5 ≤ x ≤ 5 (bo: x ≤ 5, dla x≥0 lub  -x≤5 dla x<0, skąd wynika: 0≤x≤5 lub -5 ≤ x < 0 co razem daje -5 ≤ x  i  x ≤ 5)

5 - |x| = 5

|x| = 0

x = 0

Spełnia założenie:  -5 ≤ x ≤ 5

2°

5 - |x| < 0, czyli |x| > 5, czyli x < -5  lub x > 5

5 - |x| = -5

|x| = 10

x = 10 lub x = -10

spełnia założenia: x < -5 lub x > 5

Po połączeniu obu przypadków (operatorem lub) otrzymamy: x ∈ {-10; 0; 10}
Odp. x ∈ {-10; 0; 10}

 

----------------------------------------------------------------------------------------

 

2.

a) ||x|-1|< 3

1°

|x| - 1 ≥ 0, czyli x ≤ -1 lub x ≥ 1

|x| - 1 < 3

|x| <  4

-4 < x < 4  (patrz wyjaśnienie do |x| < 1 w zadaniu 1)

Po połączeniu z  założeniami (jako część wspólna, czyli operatorem i):

-4 < x ≤ -1 lub 1 ≤ x < 4, czyli x ∈ (-4; -1] U [1; 4)

2°

|x| - 1 < 0, czyli -1 < x < 1

-(|x| - 1) < 3

|x| - 1 > -3

|x| > -2, co jest słuszne dla każdego x ∈ R, czyli w naszym przypadku x ∈ (-1; 1)

Po połączeniu obu przypadków (operatorem lub) otrzymamy:

x ∈ (-4; -1] U (-1; 1) U [1; 4)  ⇔  x ∈ (-4; 4)

Odp. x∈ (-4; 4)

 

b) ||x|+2|≥ 4

Opuszczamy zewnętrzne ||

|x|+2 ≥ 4

|x| ≥ 2

x ≤ -2 lub x ≥ 2, czyli x∈(-∞; -2] U [2; ∞)

Odp. x∈(-∞; -2] U [2; ∞)

c) ||x-2|-3|< 3

1°

|x-2| - 3 ≥ 0, czyli |x-2| ≥ 3, czyli  x - 2 ≤ -3 lub x - 2 ≥ 3, czyli x ≤ -1 lub x ≥ 5

|x - 2| - 3 < 3

|x - 2| <  6

-6 < x - 2 < 6

-4 < x < 8

Po połączeniu z  założeniami:

-4 < x ≤ -1 lub 5 ≤ x < 8, czyli x ∈ (-4; -1] U [5; 8)

2°

|x - 2| - 3 <  0, czyli |x - 2| < 3, czyli  -3 < x - 2 < 3, czyli -1 < x < 5

-(|x - 2| - 3) < 3

|x - 2| - 3 > -3

|x - 2| > 0, co jest spełnione dla każdego x ≠ 2, a w naszym przypadku dla

x ∈ (-1; 5) \ {2} ⇔ x ∈ (-1; 2) U (2; 5)

Po połączeniu obu przypadków (operatorem lub) otrzymamy:

x ∈ (-4; 2) U (2; 8)

Odp. x∈ (-4; 2) U (2; 8) ⇔ x ∈ (-4; 8) \ {2}

 

Answer 2

Jeśli między | | wstawiamy liczbe zawsze bedzie dodatnia (ujemna zamienia sie na dodatnia).

! bede zaznaczal informacje

1.

a) ||x+1|+5| = 7

! |x+1| na pewno bedzie dodatne wiec mozemy zamienić ||x+1|+5| na |x+1|+5

|x+1|+5 = 7  / -5

|x+1| = 2

! Jako że mamy | | równanie będzie miało 2 rozwiązania x = 1 lub x = -3

|1+1| = 2      - zgadza sie

|-3+1| = 2 - zgadza sie

b) |5-|x||=5

!  Tu juz nie usuniemy || bo x moze byc wieksze od 5, trzeba przestawic niewiadome na jedna strone w tym przypadku x

b) |5-|x||=5          / -5

b) |x| = 0

 

2.

a) ||x|-1|< 3            / +1

! tutaj tak samo jak w zadaniach wyżej

a) |x| < 4

 

b) ||x|+2|≥ 4        / -2

! podobnie jak w a

b) ||x||≥ 2

! tylko tu musisz zalożyc że x może być liczbą ujemną dlatego będa 2 możliwości

x ≥ 2 i < -2

 

c) ||x-2|-3|< 3      / +3

c) |x-2| < 6            / +2

c) |x| < 8

! tu też musisz założyć ze x może być liczbą ujemną.

x < 8 i x > -8

 

 

Bardziej znam się na praktyce niż na teori ale myśle że zrozumiesz ;p