1.Rozwiąż równanie: 2.Rozwiąż nierówność: 3.Wyznacz dziedzine i przeciwdziedzinę funkcji: Narysować .... Question from @Damato

Paawełek Zadanie 1. Z własności logarytmów i potęg, które sądzę że znasz :)
Dziedzina to iksy rzeczywiste. Najpierw:
$2x= 2x \cdot 1 =2x \cdot \log 10 = \log 10^{2x} = \log (10^x)^2$
$2x-\log 25 = \log 5^{2x}+2\log 4 - \log (1+2^{x})^2 \\ \log(1+2^x)^2-\log(5^x)^2+\log (10^x)^{2}=\log 25 + \log 4^2 \\ 2 \log (1+2^x) - 2\log 5^x +2\log 10^x=\log (25 \cdot 16) \\ 2(\log (1+2^x)-\log5^x+\log10^x)=\log 400 \qquad /:2 \\ \log(1+2^x)-\log 5^x + \log 10^x = \frac{1}{2}\log 400 \\ \log \left( \frac{1+2^x}{5^x} \cdot 10^x\right)=\log \sqrt{400} \\ \log\left( \frac{1+2^x}{5^x} \cdot 5^x \cdot 2^x\right)=\log 20 \\ \log [(1+2^x) \cdot 2^x]=\log 20 \\ \hbox{Podstawy logarytmu takie same:}$
$(1+2^x) \cdot 2^x = 20 \\ \hbox{Podstawiam:} \\ t=2^x \qquad t>0 : \\ t(1+t)=20 \\ t^2+t-20=0 \\ \Delta=1+80=81 \\ t_{1}=\frac{-1+9}{2}=4 \in D \\ t_{2}=\frac{-1-9}{2}=-5\notin D \\ \hbox{Skad:} \\ 2^x= 4 \\ 2^x=2^2 \\ \boxed{x=2}$

Zadanie 2. Dziedzina:
mianownik różny od zera:
$3-x \neq 0 \\ x \neq 3 \\ \\ \hbox{Podstawa logarytmu wieksza od 0:} \\ x-2>0 \\ x>2 \\ \hbox{Podstawa logarytmu nierowna 1:} \\ x-2\neq 1 \\ x \neq 3 \\ \hbox{Skad:} \\ x \in (2,+\infty)\setminus\{3\}$

Zauważ, że z definicji arkusa kotangensa:
$\hbox{arccot} \ y=x \qquad \Rightarrow \qquad y=\cot x \\ \hbox{Podstawiajac otrzymamy gotowy wzor:} \\ \hbox{arccot} (\cot x)=x$

Więc masz nierówność:
$\log_{x-2} \frac{1-x}{3-x} \ge 1 \\ \hbox{Z deefinicji logarytmu:} \\ \frac{1-x}{3-x} \ge x-2 \\ \frac{1-x}{3-x} - \frac{x(3-x)}{3-x} + \frac{2(3-x)}{x} \ge 0 \\ \frac{1-x-3x+x^2+6-2x}{3-x} \ge 0 \\ \frac{x^2-6x+7}{3-x} \ge 0 \\ (x^2-6x+7)(3-x)\ge0 \\ \\ \hbox{Zajmuje sie trojmianem:} \\ \Delta=36-28=8 \\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \\ x_{1}=\frac{6+2\sqrt{2}}{2}=3+\sqrt{2} \\ x_2=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}$
Rozwiązanie tej nierówności przedstawię w załączniku na osi liczbowej.

Zad. 3. Arkus kosinus może być tylko z liczb z przedziału <-1, 1>. Czyli dziedzina:
$-1 \le \frac{4x-3}{2} \le 1 \qquad /\cdot 2 \\ -2 \le 4x-3 \le 2 \qquad /+3 \\ 1 \le 4x \le 5 \qquad /:4 \\ \frac{1}{4} \le x \le \frac{5}{4} \\ Df: \ x\in \langle \frac{1}{4}, \frac{5}{4}\rangle$

Przeciwdziedzina. Funkcja ma zbiór wartości w przedziale <0, pi>. Zatem:
$y_{min} = \pi - \pi = 0 \\ y_{max}=\pi - 0 = \pi \\ \\ Zw: \ \ y \in \langle 0,\pi \rangle$

Teraz by narysować funkcję, znajduję "Szczególne punkty". Pierw na krańcach przedziału:
$f(\frac{1}{4})=\pi - \arccos (-1) =\pi - \pi = 0 \\ f(\frac{5}{4})=\pi -\arccos 1=\pi - 0 = \pi$
(ponieważ cos pi = -1 oraz cos 0 = 1 )
innymi szczególnymi są arccos(1/2) oraz arccos (-1/2)
przyjmują odpowiednio:
arccos (-1/2) = 2/3 pi (bo cos 2/3pi = -1/2), wartość funkcji pi - 2/3pi = pi/3
arccos (1/2) = pi/3 (bo cos pi/3 = 1/2) wartość funkcji pi-pi/3=2/3 pi
pierwiastki już sobie daruję.
arccos(1/2) mamy dla x=1
arccos(-1/2) mamy dla x=1/2.
Zaznaczam te punkty no i kreślę taką figurę przechodzącą przez nią, taką "arkuso-kosinusoidę" która ma kształt arkusa kosinusa (załącznik)
Trochę mi nie wyszła, bo "ugięła się", ale mniej więcej taka ma być....
Teraz f(1) + f(0,5)
$f(1)+f(0,5)= \pi - \arccos \frac{4-3}{2}+ \pi - \arccos \frac{2-3}{2}= \\ = 2\pi - \arccos (-\frac{1}{2})-\arccos (\frac{1}{2})=2\pi - \frac{2}{3}\pi- \frac{\pi}{3}=\pi$
Zad. 4
Zacznę od znajdowania funkcji odwrotnej dla x>0. Wówczas |x|=x i:
$y=x^2 \qquad x\ge 0 \qquad /\sqrt{} \\ |x|=\sqrt{y} \\ \hbox{Poniewaz} \ \ x\ge0 \ \ \hbox{Zapisuje jako:} \\ x=\sqrt{y} \\ \hbox{Zamieniam x z y i mam funkcje:} \\ y=\sqrt{x}$
Teraz robię to samo dla x<0. Wówczas |x|=-x :
$y=-x^2 \qquad x<0 \qquad / \sqrt{} \\ i|x|=\sqrt{y}$
Jak widać, dla x<0 funkcja nie posiada funkcji odwrotnej.
Natomiast dla x>0 wyznaczyłem ją powyżej.

Zad. 5. Jest to ciąg geometryczny. Ma stałe "q" :
$q=\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \frac{(2\sin t+2)^{n+1}}{(2\sin t+2)^n}= \frac{(2\sin t+2)^{n} \cdot (2\sin t+2)}{(2\sin t+2)^n}=2\sin t+2$
By szereg był TYLKO malejący i ograniczony musi zajść:
0<q<1
Stąd mamy nierówność:
$0<2\sin t +2 <1 \qquad /-2 \\ -2<2\sin t<-1 \qquad /:2 \\ -1<\sin t<-\frac{1}{2} \\ \hbox{Poniewaz sinus zawiera sie wprzedziale} \ \langle-1,1\rangle \ \hbox{Zachodzi:} \\ \sin t<-\frac{1}{2} \qquad \qquad \sin t \neq -1$

Pierw równość:
$\sin t \neq -1 \\ t \neq -\frac{\pi}{2}+2k\pi$

Teraz nierówność. Zauważ, że:
$\sin (-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2} \\ \sin (\frac{\pi}{6}-\pi)=\sin (-\frac{5}{6}\pi)=-\frac{1}{2} \\ \\ \hbox{Zatem:} \\ \\ -\frac{5}{6}\pi < t < -\frac{\pi}{6} \\ \hbox{Dodajac okres:} \\ -\frac{5}{6}\pi + 2k\pi < t < -\frac{\pi}{6}+2k\pi \qquad k\in\mathbb{C} \\ \hbox{Skad ten ciagj est ograniczony i malejacy dla:} \\ t \in (-\frac{5}{6}\pi+2k\pi,-\frac{\pi}{6}+2k\pi)\setminus (-\frac{\pi}{2}+2k\pi)$

0 votes Thanks 2

Oblicz wyznacznik macierzy : Mi wyszło:-2x³-2y³ Dobrze?+

Zadania z Matlaba. Proszę o dokładnie wytłumaczenie.

Proszę o rzetelną odpowiedź na te 2 pytania z załącznika - chemia! :)

Biologia - krzyżówki genetyczne II. Proszę o pełne wytłumaczenie dlaczego tak a nie inaczej. 3 zagadnienia.

Biologia - krzyżówki genetyczne. Proszę o pełne wytłumaczenie dlaczego tak a nie inaczej. 3 zagadnienia.

Zadanie w załaczniku.

W załączeniue.Geometria różniczkowa.

W załączeniu,jedno zadanko.

Zadania w załączniku (s)

Zadania w załączniku,prosze o pełne odpowiedzi.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social