Question

1.RÓWNANIA KWADRATOWE :
a)x²-9x+8=0
b)64x²-49=0
c)16x²-9x=0
d)-x²-+2x+35=0
e)(2+5x)²=19x+(x-4)(x+5)
f)2x²=7x
g)4-x²=0

2.ZADANIA TEKSTOWE:
a)iloczyn 2kolejnych liczb naturalnych jest rowny 756.wyznacz te liczby.
b)suma kwadratow 2liczb,z ktorych 1jest o 3wieksza od 2,wynosi 17. wyznacz te liczby.
c)pole prostokata wynosi 18cm². 1z bokow jest o 2krotszy od 2. wyznacz dlugosc bokow.
d)pole trojkata wynosi 24cm². jedna z przyprostokatnych jest o 2cm dluzsza od drugiej. oblicz dluogosc bokow.

3.Oblicz obwod trojkata ABC, gdy A=(0,2) B=(2,4) C=(5,1),spr czy trojkat abc jest prostokatny [ obw.trojkata i tw pitagorasa]

4.Oblicz wspolrzedne srodka S odcinka AB,gdy:
a) A=(0,0) i B=(-2,1) b) A=(√2,1) i B=(-√2,4)

5.Spr czy trojkata ABC jest prostokatny,gdy:
a) A=(2,1) B=(1,5) C=(-7,3)
b) A=(5,0) B=(1,8) C=(-5,5)

Answer 1

Z.1
a) x² - 9x + 8 = 0
Δ = 81 - 4*1*8 = 81 - 32 = 49
√Δ = 7
x1 = [9 -7]/2 = 1
x2 = [9 + 7]/2 = 8
b)
64x² - 49 = 0
(8x)² - 7² = 0
(8x -7)*(8x +7) = 0
8x - 7 = 0 lub 8x + 7 = 0
8x = 7 lub 8x = -7
x = 7/8 lub x = -7/8
c)
16x² -9x = 0
x*(16x -9 ) = 0
x = 0 lub 16x - 9 = 0
x = 0 lub x = 9/16
d)
- x² + 2x + 35 = 0
Δ = 4 - 4*(-1)*35 = 4 + 140 = 144
√Δ = 12
x1 = [-2 -12]/(-2) = -14 : (-2) = 7
x2 = [ -2 + 12]/ (-2) = 10 : (-2) = - 5
e)
(2 + 5x)² = 19 x + (x -4)*( x +5)
4 +20x +25x² = 19x + x² +5x - 4x - 20
24x² = -24
x² = -1 - nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
W zbiorze liczb zespolonych mamy
x = i lub x = - i
f) 2x² = 7x
2x² - 7x = 0
x*(2x - 7) = 0
x = 0 lub 2x - 7 = 0
x = 0 lub x = 3,5
g)
4 - x² = 0
(2 -x)*(2 +x) = 0
2 -x = 0 lub 2 + x = 0
x = 2 lub x = - 2
==========================
z.2
a) x - liczba naturalna
zatem
x *(x +1) = 756
x² + x - 756 = 0
Δ = 1 -4*1*(-756) = 1 + 3024 = 3025
√Δ = 55
x = [-1 - 55]/2 = -56/2 = - 28 < 0 - odpada , bo x ∈ N
zatem x = [ -1 + 55]/2 = 54/2 = 27
Odp.Te liczby to: 27 oraz 28.
---------------------------------------------------
b)
x - I liczba
x + 3 - II liczba
x² + (x+ 3)² = 17
x² +x² +6x + 9 = 17
2x² +6x - 8 = 0 / : 2
x² + 3x - 4 = 0
Δ = 9 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25
Δ = 5
x = [ -3 - 5]/2 = -8 : 2 = -4
lub x = [ -3 + 5]/2 = 2/2 = 1
mamy dla x = -4 --> x +3 = -4 + 3 = -1
dla x = 1 --> x + 3 = 1 =3 = 4
Odp. Szukane liczby to: 1 i 4 oraz -1 i -4
----------------------------------------------------------
c) x - długość I boku prostokąta
x - 2 - długość II boku
Mamy zatem
x*(x -2) = 18
x² - 2x - 18 = 0
Δ = 4 - 4*1*(-18) = 4 + 72 = 74 = 4*19
√Δ = 2√19
x = [2 - 2√19]/2 < 0 - odpada
zatem x = [2 + 2√19]/2 = 1 + √19
x -2 = (1 +√19) -2 = -1 +√19
Odp. Boki tego prostokąta mają długość: 1 +√19 oraz √19 - 1.
------------------------------------------------------------------------
d)
x oraz x +2 długości przyprostokątnych Δ
P = 24 cm²
czyli 0,5*x*(x +2) = 24
x *(x +2) = 48
x = 6, bo 6 *8 = 48
x +2 = 8
6² + 8² = c²
c² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10
c = 10 cm
Odp. Długości boków trójkąta: 6 cm, 8 cm, 10 cm.
===================================================
z.3
A = (0; 2) , B = (2; 4) , C = (5 ; 1)
I AB I² = (2 - 0)² + ( 4 - 2)² = 2² + 2² = 8 = 4*2
I AB I = √8 = 2√2
I BC I² = (5 -2)² + (1 - 4)² = 3² + (-3)² = 9+9 = 18
I BC I = √18 = 3√2
I AC I² = (5 - 0)² + (1 - 2)² = 5² + (-1)² = 25 + 1 = 26
I AC I = √26
Obwód Δ
L = I AB I + I BC I + I AC I = 2√2 + 3√2 + √26 = 5√2 + √26
----------------------------------------------------------------
I AB I² + I BCI² = 8 + 18 = 26 = I AC I ²
Ten trójkąt jest prostokątny.
=============================================
z.4
a) A = (2 ; 1) , B = ( 1; 5)
S = [(2+1)/2 ; (1 +5)/2] = (3/2 ; 3 )
b)
A = (√2 ; 1 ) , B = ( -√2; 4 )
S = [ (√2 -√2)/2; (1 + 4)/2] = ( 0 ; 2,5 )
===================================================
z.5
a)
A = (2;1) , B = (1;5), C = ( -7; 3)
I AB I² = (1 -2)² + (5 -1)² = 1 + 16 = 17
I BC I² = (-7 -1)² + (3 - 5)² = 64 + 4 = 68
I AC I² = (-7 - 2)² + (3 - 1)² = 81 + 4 = 85
17 + 68 = 85
czyli I AB I² + I BC I² = I AC I²
Trójkąt jest prostokątny
---------------------------------------
b) A = ( 5; 0), B = (1 ; 8), C = (- 5; 5)
I AB I² = (1 -5)² + (8 - 0)² = (-4)² + 8² = 16 + 64 = 80
I BC I² = (-5 -1)² = (5 - 8)² = 36 + 9 = 45
I AC I² = (-5 -5)² + (5 - 0)² = 100 + 25 = 125
80 + 45 = 125
czyli I AB I² + I BC I² = I AC I²
Trójkąt jest prostokątny
===================================
K O N I E C