Question

1,Oblicz pole trójkąta ABC,gdy:
a)A=(8,-4) B=(4,7) C=(1,1)
b)A=(2,-2) B=(-2,3) C=(-10,10)

2,1,Oblicz pole czworokąta ABCD,gdy:
a)A=(5,-3) B=(3,4) C=(-1,2) D=(-2,1)

3,Punkty A,B,C,D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Oblicz współrzędne czawartego wierzchołka równoległoboku, jeżeli:
a)A=(2,4) B=(2,6) C=(1,5)
b)A=(-1,-3) C=(2,7) D=(-3,5)
c)B=(0,2) C=(6,1) D=(2,-3)

Answer 1

Z.1
a)
A =(8;-4), B = (4; 7), C = (1; 1)
Obliczę współrzędne wektorów i ich długości:
-->
AB = [4 -8; 7-(4)] = [-4 ; 11]
-->
AC = [1 - 8; 1 -(-4)] = [-7; 5]
I AB I² = (-4)² + 11² = 16 + 121 = 137
czyli I AB I = √137
I AC I² = (-7)² + 5² = 49 +25 = 74
czyli I AC I = √74
Iloczyn skalarny wektorów
AB o AC = -4*(-7) + 11*5 = 28 +55 = 83
ale AB o AC = I AB i * I AC I * cos α
czyli cos α = [ AB o AC ] : ( I AB i *I AC I (
cos α = 83 : ( √137 *√74)
sin²α = 1 - cos² α = 1 - 83²/(137*74)
sin²α = 1 - 6889/10 138 = 3249/10 138
zatem sinα = 57/√(10 138)
Pole Δ ABC
P = (1/2)*I AB I *I AC I * sin α = (1/2)*√137*√74*[57/√(10 138) =
= (1/2)*57 = 28,5
======================
b)
A = (2; -2), B = (-2;3), C = (-10; 10)
-->
AB = [-2-2; 3- (-2)] = [-4; 5]
-->
AC = [-10 -2; 10 -(-2)] = [-12; 12]
-->
BC = [ -10 -(-2); 10 -3] = [-8; 7]
Obliczam kwadraty długości: AB, AC, BC :
I AB I² = (-4)² + 5² = 16 +25 = 41
I AC I² = (-12)² + 12² = 144 + 144 = 288
I BC I² = (-8)² + 7² = 64 + 49 = 113
Nie jest to Δ prostokątny.
I AB I = √41
I AC I = 12√2
Iloczyn skalarny
AB o AC = (-4)*(-12) + 5*12 = 48 + 60 = 108
α - miara kąta między AB a AC
Mamy AB o AC = I AB I * I AC I* cos α
czyli 108 = √41*12√2* cos α
cos α = 108 : 12√84 = 9/√84
sin² α = 1 - cos²α = 1 - (9/√84)² = 1 - 81/84 = 84/84 - 81/84 =
= 3/84
sin α = √3/ √84
Pole Δ ABC
P = (1/2)*I ABI * I AC I * sin α = (1/2)*√41*12√2*(√3/√84) =
= 6*√246/√84 = 6*√(246/84) = 6*√(41/14) ≈ 10,3
=================================================

cdn.