Question

1.Punkty a,b,c dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 1:2:3. Oblicz miary kątów trójkąta ABC

2.Oblicz długości boków dwóch kwadratów wiedząc żesuma ichobwodów jest równa 48 a stosunek pól wynosi 4

3.Dany jest trójkąt o bokach 6,10,14.Oblicz pole tego trójkąta oraz promień okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

4.Podstawa trójkąta równoramiennego ma 6cm a wysokość na nią opuszczona ma 12 cm. Oblicz długości wszystkich środkowych

BARDZO PILNE.PROSZĘ O POMOC

Answer 1

z.1

1 +2 +3 = 6

360 st : 6 = 60 st

Mamy kąty środkowe

alfa  = 1*60 st = 60 st

beta = 2*60 st = 120 st

gamma = 3*60 st = 180 st

Trójkąt ABC jest prostokątny. Odcinek AB to średnica okręgu.

C - wierzchołek kąta prostego.

Trójkąt AOC jest równoboczny, zatem kąt o wierzchołku A ma 60 stopni.

Kąt ACB jest prosty  więc ma 90 stopni.

Kąt o wierzchołku B ma (90 - 30 ) st = 60 st

========================================

z.2

a - długość boku I kwadratu

b - długość boku II kwadratu

Niech a > b

Mamy

Suma obwodów kwadratów

4a + 4b = 48 / : 4

Stosunek pól kwadratów

P1/ P2  = a^2 / b^2 = 4  --> a^2 = 4 *b^2

------------------------------------------------

a + b = 12  --> b = 12 - a

Podstawiamy

a^2 = 4*[ 12 - a]^2

a^2 = 4*[ 144 - 24a + a^2]

a^2 = 576 - 96a + 4 a^2

3 a^2  - 96a + 576 = 0

delta = (-96)^2 - 4*3*576 = 9 216 + 6 912 = 2 304

p ( delty ) = p ( 2 304 ) = 48

a = [ 96 - 48]/6 = 8

lub  a = [ 96 + 48]/6 = 144/6 = 24

wtedy

b = 12 - a = 12 - 8 = 4

lub  b = 12 - 24 = -12 < 0 odpada

Odp. a = 8   oraz  b = 4

=====================

spr. 4*8 + 4*4 = 32 + 16 = 48

a^2/b^2 = 8^2 / 4^2 = 64/ 16 = 4

---------------------------------------------------------------------------------

z.3

a,b,c - długości boków trójkąta

a = 6

b = 10

c = 14

q = [ a+b+c]/2 = [ 6 + 10 + 14]/2 = 30/2 = 15

Pole trójkąta - stosujemy wzór Herona

P = pierwiastek kwadratowy [ q*(q -a)*(q - b)*(q - c) ]

= p [ 15*( 15 -6)*(15 - 10)*(15 - 14)] =

= p [ 15*9*5*1] = p [ 675 ] = p [ 225*3] = p(225] *p(3) = 15 p(3)

P = 15 p(3)

================

Promień r okręgu wpisanego w ten trójkąt

Korzystamy z wzoru

P = q *r  ---> r = P / q

r = [ 15 p(3)]/15 = p(3)

======================

Promień R  okręgu opisanego na tym trójkącie

Korzystamy z wzoru:

P = [a*b*c]/ [ 4 R ]  --> R = [ a*b*c]/ [ 4 P ]

czyli

R = [ 6*10*14]/[4* 15 p(3)] = [ 60 * 14]/[60 p(3)] = 14 / p(3)

R =[ 14 p(3) ]/3 = (14/3) *p(3)

===========================

z.4

W  trójkącie równoramiennym ABC mamy

I AB I = a = 6 cm

I CD I = h = 12 cm

I AC I = I BC I

Jedną ze środkowych jest odcinek CD, gdzie  D - środek odcinka AB.

O  - środek przecięcia się środkowych, czyli punkt ciężkości trójkąta ABC

Mamy I OC I / I OD I = 2 / 1

zatem  I OC I = 2 *I OD I oraz I OC I + I OD I = 12

Stąd I OD I = 4  oraz I OC I = 2*4 = 8

Środkowe AE  i   BF  są równe.

Rozpatrzmy trójkąta prostokątny BDO.

Niech I BO I = x

zatem

x^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

więc  x = p(25) = 5

Ponieważ x / I FO I = 2/1 , czyli 5/ I FO I = 2 --> I FO I = 2,5

czyli środkowa BF  ma długość

I BF I = 5 + 2,5 = 7,5  oraz

I AE I = I BF I = 7,5

Odp. Jedna ze środkowych trójkąta ma długość  12 , a dwie pozostałe po 7,5

================================================================

Korzystaliśmy z twierdzenia:

Środek ciękości trójkąta  dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2 : 1 , licząc

od wierzchołka trójkąta.

-----------------------------------------------------------------------------------------