Question

1.Przedstaw trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej i iloczynowej oraz narysuj wykres: y=3x2+2x-8 2.

Rozwiąż równanie: a). 12x3+4x2+9x+3=0 b). 8x3-12x2+6x-1=0 3.

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) =x3-4x2 - mx+36 Wyznacz parametr m.

Answer 1

z.1

y = 3 x^2 + 2x - 8

Mamy

a = 3 , b = 2 , c = - 8

zatem

p = -b/(2a) = -2/6 = - 1/3

delta = b^2 - 4ac = 4 - 4*3*(-8) = 4 + 96 = 100

q = - delta/ (4a) = -100/12 = - 25/3

y = a*(x -p)^2 + q

czyli

y = 3*(x +1/3)^2  - 25/3   - postać kanoniczna

Wierzchołek  W = (p;q) = ( -1/3 ; -25/3 )

==========================================

x1 = [ -2 - 10]/6 = -12/6 = -2

x2 = [ -2 + 10]/6 = 8/6 = 4/3

y = a*(x -x1)*(x - x2)

czyli

y = 3*( x +2)*( x - 4/3)   - postać iloczynowa

============================================

Wykresem jest parabola o wierzchołu W = ( -1/3; -25/3)

i miejscach zerowych x1 = -2    i   x2 =  4/3

===================================================

z.2

a)

12 x^3 + 4 x^2 + 9x + 3 = 0

3x*( 4 x^2 + 3) + 1*( 4 x^2 + 3) = 0

(3x +1)*( 4 x^2 + 3) = 0

x = -1/3

===========

 bo 4 x^2 + 3 > 0  dla dowolnej liczby rzeczywistej x

b)

8 x^3 - 12 x^2  + 6x - 1 = 0

x = 1/2 jest pierwiastkiem tego równania, bo

8 *(1/2)^3 - 12*(1/2)^2 + 6 *(1/2) - 1 = 8*(1/8) - 12*(1/4)+ 3 - 1 =

= 1 - 3 + 3 - 1 = 0

 

Wykonuję dzielenie:

 

     8 x^2 -  8 x  + 2

------------------------------

( 8 x^3 - 12 x^2 + 6x - 1 ) : ( x - 1/2 )

- 8 x^3 + 4 x^2

-----------------------

.........  -8 x^2 + 6x

..........  8 x^2  - 4x

-------------------------------

..................... 2x  - 1

.................... -2x + 1

-------------------------------

...........................  0

 

8 x^2 - 8x + 2 = 0 / : 2

4 x^2  - 4x + 1 = 0

----------------------

( 2x - 1)^2 = 0

2x = 1

x = 1/2

Odp. x = 1/2  jest potrójnym pierwiastkiem równania.

=======================================================

z.3

Ponieważ

liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu, zatem

W( 3) = 0

czyli

W(3) = 3^3 - 4 *3^2 - 3m + 36 = 27 - 36 - 3m + 36 = 27 - 3m

zatem

27 - 3m = 0

3m = 27

m = 9

==========

Odp. m = 9

==========================