Question

1.Oblicz q i n mając:

a1=2 an=1458 Sn=2186

2.Oblicz a1 i Sn mając:

q=pierw.z 5 an=625 pierw.z 5 n=8

3.Oblicz n i Sn mając:

a1=-pierw.z 3 q=pierw.z 6 an=-108pierw.z 2

Answer 1

 1.Oblicz q i n mając:

a1=2

an=1458

Sn=2186

q = ?

n = ?

 

an = a1*q^(n-1)

an = 2* q ^(n-1) =1458

2*q^(n-1) = 1458          /:2

   q^(n-1) = 729

  q^n

------ = 729           /*q

 q

 

q^n = 729q

 

Teraz korzystam ze wzoru na na sume n wyrazów ciągu geometrycznego

Sn = a1*(1 - q^n)/(1-q)

        2*( 1-q^n):(1 -q) = 2186         /:2

           ( 1-q^n):(1 -q) = 1093

            1- q^n = 1093*(1 -q)

              -q^n = 1093 -1093 q -1

              -q^n = 1092 - 1093q

              -q^n +1093q = 1092

             - 729q +1093q = 1092

                        364q = 1092

                             q = 1092 : 364

                             q = 3

 

  

q^n = 729q

3^n = 3⁶*3

3^n = 3⁷

   n = 7

 

 

2.Oblicz a1 i Sn mając:

q = √5

an = 625√5

n = 8

a1 = ?

Sn = ?

 

 

an= a1*q^(n-1) = 625* (√5)
a1 *(√5)^(8-1) = 625*(√5)
a1*(√5)^7 = 625*(√5)
a1*(.5)^(7/2) = 625*(√5)
uwaga: (√5)^7 = (√5)^6*(√5)^1 = [5^(1/2)*6]*(√5)=
= 5^3*(√5)
a1 *5^3*(√5) = 625*(√5)
a1 *125*√5) = 625*(√5) /:(√5)
a1 =*125 = 625
a1 = 625 : 125
a1 = 5

Sn = a1*(1-q^n):(1-q)
Sn = 5*[1-(√5)^8] : [ 1 - √5]
Sn = 5*[ 1 - 5^4 ] : [ 1 - √5]
Sn = 5*(1 - 624) : ( 1- √5)
Sn = 5*(-624) : (1 - √5)
aby usunąć niewymierność z mianownika należy równanie pomnożyć i podzielić przez (1 + √5)

Sn = [ 5*( - 624) : ( 1- √5)]*[ 1 + (√5) : ( 1 + √5)]
Sn = [ 5*(-624)*(1 + √5) : [ 1^2 - (√5)^2 ]
zastosowałam w mianowniku wzór: (a - b)*( a +b) = a^2 - b^2

Sn = [ 5*(-624)*(1 + √5) ] : [ 1 -5]
Sn = [ 5 *(-624)*(1 + √5) ] : (-4)

redukuje się (-624) :(-4) = 156

Sn = [ 5*156*(1 + √5)]
Sn = 780 *(1 +√5 )

 

3.Oblicz n i Sn mając:

a1= - √3

q = √6

an = - 108√2

n = ?

Sn = ?

 

an = a1 *q^(n-1)

       a1 *q^(n-1) = -108√2

       - √3 *(√6)^(n-1) = -108√2       /:(- √3)

               (√6)^(n-1) = +108*√2 : √3

               (√6)^n        108*√2

               -------- =   ----------           /*√6

               √6                    √3

 

                              108*√2*√6

                (√6)^n =  -----------

                                  √3

 

                              108*√2*√2*√3

                (√6)^n = ---------------

                                     √3

          

               (√6)^n = 108*2

               [ 6^(1/2)]^n = 216

                 6^ (1/2n) =  6³

                 

Przy jednakowych podstawach potęg równania  porównuje się wykładniki potęg

1/2n = 3         /*2                   

 n = 6

  

Sn = a1*(1-q^n):(1-q)   

Sn = - √3*[1 - (√6)⁶] : [ 1 - √6]

Sn = - √3*[ 1 - 6³ ] : [ 1 - √6]

Sn = - √3*(1 -216): ( 1 -√6)

Sn = - √3*(-215) : ( 1- √6)

Sn = [ - √3*(-215) : ( 1- √6)] *[ (1 + √6): (1 +√6 )]

Sn = [ - √3* (-215)*(1+√6)] : [ ( 1- √6) *( 1 + √6) ]

Sn = [ - √3 *(-215) *(1 +√6) ] : [ 1² -(√6)² ]

Sn = [ - √3*(-215)*(1 + √6) ] : [ 1 - 6]

Sn = [ - √3 *(-215)*(1 +√6) ] : (-5)

Redukuje się (-215):(-5) = 43

Sn =  [ - √3 * 43 *(1 + √6 ]

Sn = - 43√3 ( 1 + √6)

Sn = - 43√3 - 43√3*√6

Sn = - 43√3 - 43√ 18

Sn = - 43√3 - 43*9

Sn = - 43√3 - 387