Question

W skończonym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy -3 a ostatni wynosi -1536. Wiedząc,że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa -3069 wyznacz:

a)iloraz tego ciągu

b)liczbę wyrazów tego ciągu

Answer 1

W skończonym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy -3 a ostatni wynosi -1536. Wiedząc,że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa -3069 wyznacz:

a)iloraz tego ciągu

a1 = -3

an = -1536

Sn = -3069

q = ?

 

 

Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego 

q^(n-1)  oznacza q do potęgi (n-1)

 

an = a1*q^(n-1)

an = -3*q^(n-1) = -1536

       -3*q^(n-1) = -1536       /(-3)

           q^(n-1) = (-1536):(-3)

           q^(n-1) = 512

           q^n /q = 512

           q^n  = 512 q

Teraz korzystam ze wzoru na sume n wyrazów ciągu geometrycznego

Sn = a1*(1 - q^n)/(1-q)

Sn = -3069

a1*(1 - q^n)/(1-q) = -3069

(-3)*(1-q^n) / (1-q) = -3069       /:(-3)

      (1-q^n) / (1-q) = 1023

      (1-q^n) = 1023*(1-q)

    

       q^n  = 512 q

 (1- 512 q) = 1023*(1-q)

    1-512q  = 1023 - 1023q

     -512q +1023q = 1023 -1

          511q = 1022

               q = 1022 : 511

               q = 2

       

 

 

b)liczbę wyrazów tego ciągu

n = ?  - liczba wyrazów ciagu

 

q^n  = 512 q

2^n = 512*2

2^n = 2⁹ *2

2^n = 2¹⁰

 n = 10