Question

1)Oblicz dla jakich wartosci parametru k równanie -x^2+kx-1=0 ma 2 rozwiązania których suma odwrotności kwadratów jest większa niż 1.

Answer 1

1)Oblicz dla jakich wartosci parametru k równanie -x^2+kx-1=0 ma 2 rozwiązania których suma odwrotności kwadratów jest większa niż 1.

-x² + kx -1 = 0

Równanie ma 2 miejsca zerowe gdy:
1) Δ > 0
2) (1/x1)² + (1/x2)² > 1

Rozwiazuję 1)warunek
Δ > 0
k² - 4*(-1)*(-1) > 0
k² - 4 > 0
(k -2)(k+2) >0

k∈(-∞, -2)∨ ( 2, +∞)

Rozwiązuję 2) warunek
(1/x1)² + (1/x2)² > 1

wspólny minownik = x1²*x2²

(x2² + x1²) : (x1²*x2²) > 1
(x1² + x2²) : (x1²*x2²) > 1
[(x1 + x2)² - 2x1*x2 ] : (x1*x2)² > 1

Teraz sosuję wzory Viete`a
x1 + x2 = -b:a
x1*x2 = c :a

[ (-b/a)² - 2*c/a ] : (c/a)² > 1

a = -1
b = k
c = -1

{ [ -k/(-1)]² - 2*(-1)/(-1)} : (-1/-1)² > 1
{ k² - 2} : 1 > 1
k² -2 > 1
k² -2 -1 > 0
k² -3 > 0
(k -√3)(k +√3) > 0

k ∈ (-∞, -√3) ∨ ( √3, +∞)

Obliczam wspólna część 1) i 2) warunku
1) k ∈ (-∞, -2)∨ ( 2, +∞)
2) k ∈ (-∞, -√3) ∨ ( √3, +∞)

Rozwiązaniem jest:
k ∈ ( - ∞, -2)∨ ( 2, +∞)